以“核心概念”引领单元整体设计和分步实施——以《长方形和正方形的面积》单元教学为例
文|成艳斌
教师都熟知“周长”和“面积”“表面积”和“体积”是“图形的测量”内容中两对相生相伴的易混概念，如何降低这种易混易错率，让学生从数学本质的角度认识它们，优化教学效果呢？
1.典型的教学片断。
【片断一】
新授环节的第一个任务，教师用课件动态演示“线动成面”，学生有的发现了面有长短，有的发现了面有大小，有的甚至清楚地表示自己发现了“面积有大有小”。紧接着，教师根据学生已知面积名称的具体学情，展开了如下互动。
师：根据你的理解说一说什么是1 号图形（一条线段经过平移变换成的长方形）的面积？
生1：长加宽的和乘2。
生2：你计算的不是面积，你是在求周长，我觉得面积应该是图形这一面的大小。
（一边摸一边说）
教师紧接着追问生1：你还认为长加宽的和乘2是在求面积吗？这是之前学习的求什么的方法啊？
生1：周长。
通过不同层次的表达和抽象，学生最终得出：封闭图形的大小就是它们的面积。
【片断二】
新授环节的第二个任务，教师继续演示“线动成面”。
师：如果将2 号长方形的长继续平移会怎么样，现在还能看出两个图形的面积谁大谁小吗？
生1：一个横着的，一个竖着的，看不出来了。
师：那怎么办呢？
生1：可以拿着尺子来测量一下，把它分成一个一个的小格子，再数一数。
生2：可以先算出周长，再来比较周长哪个大哪个小，就知道面积哪个大哪个小了。
师：通过比较它们的周长来比较面积的大小，可以吗？咱们留作一个问题来探索。
生3：把下面的图形和上面的图形重叠，就可以比较出它们的大小。
师：重叠的方法确实能比较两个图形的大小，但是实际生活中操作不方便，还是用小方格比较合适。
紧接着，教师安排学生用透明方格纸测量两个长方形的面积，并作出比较。
2.可能的成因分析与干预。
在片断一中，学生以1 号长方形为例表达对面积的理解时，试图用求周长的方法给出一个数表征面积。从教师的视角看，显然这个学生已经把面积和周长混淆了。仔细分析，我们可能有这样的收获。
（1）这个想法从哪来的？
学生在学习周长后，可能有以面的大小判断周的长短而成功的经验。这个经验虽不是普遍规律，但确实常见。在学生没有将周长大而面积小的强刺激纳入认知范围前，这种合情推理便会一直存在。他们会认为周长与面积正相关，面越大，周越长；
反之，周越长，面也越大。当学生误以为教师让大家用一个数表征1号长方形的面积时，因为缺乏定量描述的经验，所以便调用了“周长”。
（2）教学干预的时机是否恰当？
不难发现，按照这样的教学设计，学生在产生困惑的时候，正处于定性描述阶段，还没有经历以小量大、定量刻画，“面积”还只是个“有某种语言结构要求”的概念。等到下节课学习了面积单位并产生度量值的时候，最好的时机已经错过了。
（3）教师的干预方法是否得当？
学生基于旧知学习新知，概念理解的认知偏差有很多种，他们从糊涂到明白，需要教师多角度有针对性地共情与支持。在片断二中，当不能直观看出两个图形的面积时，学生就再次提出了“通过比周长来比面积”的想法。
3.可怕的“后遗症”。
这节课的一开始学生就把“周长”和“面积”混了，直到结束也没有厘清。教师从面积的板书中擦掉了周长的计算公式，却没擦去学生的错误认知。可想而知，紧接着我们需要上周长与面积的区分课，如果还分不清，那就再练、再测……
4.思考和启示。
要想解决这个问题，还是应该先从研究“教什么”开始。
（1）度量的数学本质是什么？
《度量——一首献给数学的情歌》这本书中写到：“什么是度量？在度量某个物体的时候，我们到底是在做什么？……其实我们正在进行比较，比较我们正在度量的物体和用来度量的物体。换句话说，度量是相对的。我们所做的任何度量，无论是真实的还是假想的，都必然取决于我们选定的度量单位。”
可见度量的本质是比较，就是不断用度量单位与度量对象进行比较，最后给度量对象一个数的结果。（2）现有的典型做法有哪些不足？
教师的磨课片断，体现了我们平时教学面积时的一些典型做法。
做法一：我们常常会将关注点及大量时间放在让学生通过直观操作（摸、涂色等）感知“面积”，然后引导学生概括出“面积定义”。我们总愿意相信：如果这些词语出自学生之口，而非教师之口，那么学生就真正理解了。
做法二：我们通常组织学生经历“观察——重叠、剪拼——数格子”来比较两个图形面积的过程，同时有意识地设计不同大小的“格子”，强调单位统一的重要性。至于比较结果，比出谁大谁小即可，具体有多大，在这节课我们并不关注。
这些照本宣科的典型做法，并没有梳理清晰“周在面上，面在体上”的易混关系。要想区分周长与面积，还得从“度量”的本质出发，方能得到解答。
（3）应该做出哪些调整？
面积的学习主要经历两个阶段：阶段一是比较两个或多个面的大小；
阶段二是精确地求出某个面的大小。第二个阶段有两种方法，方法一是用单位密铺，然后数出单位的个数；
方法二是间接度量，利用公式直接计算。我认为，“用单位密铺”的方法应该贯穿面积学习的两个阶段，直观看出就是以小量大的一次度量，多次叠合就是不断细化单位多次度量，数格子就是统一单位进行度量。
这样，我们的基本做法也应该做出相应的调整。
第一，“……的大小就是……的面积”这种表述容易将数学概念的理解异化为文字游戏。一个面究竟有多大，以及两个面比大小时究竟相差多少，给出的那个数，才是面积的本质。“直观比大小”并非难点，应大量缩减，相应的时长替换为“用数表征”。
第二，在观察、重叠、数格子等显性方法的背后有更具价值的内容，例如误差、密铺（等积变形）、曲化平、单位细化、极限思想等，以及在这个过程中对学生的思维训练（单位满铺到半铺，不是只能在长方形和正方形面积的那节课才开始教学，从面积的认识就可以开始）……这些关乎数学本质的思想方法应该在过程中得以体现。
这些调整已经在这个单元的整体设计中得以体现，在《认识面积》《长方形和正方形的面积》这两篇教学设计中，可见一斑。
1.以“度量”本质为核心概念进行单元整体设计。
度量的一般过程就是根据度量对象，先定标准，再数个数。我们今天学习的是面积，度量的对象是面，它有大有小，它的大小是用小面的个数来刻画的。以此为单元教学的主题思想，将这个单元的四个教学内容整体设计如下：
（1）内容主题明确。
第一节课是起始课，让学生经历大量用非标准单位进行度量并用数刻画结果的过程，在不断度量的过程中认识面积的度量对象，建立“以小面量大面”的规则，与周进行区分，初步沟通周长与面积的联系；
第二节课认识标准单位，建立1cm2、1dm2、1m2的量感，并继续用标准单位进行度量，进而建立几cm2、几dm2、几m2的量感；
第三节课，基于前两节课的度量经验，发现直接度量大面积操作有困难，产生间接度量的需求，探索长、正方形的面积计算公式，再次沟通长度与面积之间的关系；
第四节课，基于前三节课的经验，自主推理面积单位之间的进率，进一步发展量感。
（2）任务衔接紧密。
第一节课经历用非标准单位度量，如单位满铺到半铺、半铺如何数……为后续课时用标准单位度量、从直接度量走向间接度量的公式推理等提供直接经验支持；
第二节课用1dm2测量课本封面、用1m2测量篮球场的活动引发了第三节课的真实探索；
第三节课中1dm2不能满铺课本封面、单位细化后能满铺的探索过程又为第四节课的单位进率探索，乃至五年级不规则图形面积估计（化曲为直、极限思想）等奠定了基础……
抓住数学本质就能克服碎片化教学，把一个自然单元的若干课时贯通起来，回到知识单元的线索中，讲成一个核心概念——“面的度量”，以“定标准、数个数”为抓手，实现知识结构化、任务递进化、能力进阶化，在不断度量的过程中学习面积。这就是以单元教学为载体，表达面积度量与图形度量、知识进阶与素养进阶的整体性、一致性和阶段性。
2.对应新设计的教学效果评议。
北京教育科学研究院张丹教授认为：大概念的内涵有内容大概念、过程大概念以及价值大概念三个层面。刘延革老师在《整体视角下有关度量内容的研究与实践》一文中具体描述了度量的五个大概念，我们不妨对照这五个大概念，看看《认识面积》《长、正方形的面积计算》这两节课的实施效果。
大概念1：度量是对现实生活中事物的某些属性大小的刻画。
面积的度量对象是面，有地面、墙面等平面，球面、桶侧面等曲面，把面从体上“请”下来就是封闭图形。面有大有小，且它的大小可以用具体的数刻画出来。学生经历了多次、及时的定量刻画面积后，就能很好地区分周长和面积，“封闭图形一周边线的长度是周长，数的是几厘米、几分米……而周长里面的部分（的大小）才是面积，数的是地板、小格子……”从学生用自己的语言表达“什么是面积”的这段话中可以看出，学生对周长、面积的度量属性区分得很清楚，已经深刻理解了“周在面的边沿，而面在周的内部”。从后测看，相关练习的错误率也大大降低。
大概念2：度量的基本方法是同一单位的不断累积，将多个度量单位组合在一起产生了工具，使得测量更加方便。
在《认识面积》这节课中，对度量基本方法的体验经历了如下三个阶段：
第一，真实情境中的以小量大。无论是在父子拖地的真实情境中比较铺着同一款地砖的客厅和卧室地面哪个更大，还是生活中的其他窗面、柜面、墙面……
第二，自选单位测量课桌面。学生选择不同的单位测量课桌面，体会面积度量的正则性；
并通过比较封面、手掌面、三角形等自选单位，体会正方形“密铺”的优势，从而感受面积的有限可加性。
第三，在方格纸中描述三个平面图形的面积。此处不仅比较了周长和面积的度量对象不同，同时在求不规则图形面积的过程中，以“总量等于分量和”支撑面积的运动不变性。
定标准、数个数，就是将多个度量单位组合在一起数出结果。从这个意义上看，“方格纸”可以看作是同一正方形不断累积产生的度量面积的工具。
大概念3：度量方法和度量单位的选取源于实际生活的需要，以及对度量结果精确程度的需求。
学生在自选单位测量课桌面时，对这个概念体会很深。度量课桌面的大小时，大家都选比桌面更小的面来度量；
在度量结果的描述中，体现了度量结果的精确程度；
同时，面积是指面的大小，用小面量大面，类比线段有长短，用短线量长线，物有轻重，用轻物来量重物等，这就是在大度量观下源于生活实际需要的度量本质。
大概念4：寻找所度量的属性与图形要素之间的关系可以获得常见图形的计算公式，而转化、类比等提供了运用推理产生新的图形计算公式的视角。
这次我们以《长方形和正方形的面积》为例，这节课的核心就是用转化思想辅助学生完成推理。
转化一——化未知为已知。
学生用1m2量篮球场的面积时，发现班里的单位不仅不够满铺，连一行或一列都铺不满时，主动想到了将“铺面积单位”转化为“量长和宽”。学生的这种想法本身就来源于上节课面积单位的规定，边长1m 的正方形的面积是1m2，所以，每量出一个1m 的长度，就能摆一个1m2的面积单位。这是非常典型的用旧知解决新问题的转化思路。
同时，在这个转化过程中，学生发现了长与每行个数、宽与行数的对应关系，助推学生发现了长方形面积与其关键要素长、宽之间的关系，从而引发了新探究。
转化二——化繁为简。
学生测量长度，从直接度量走向间接度量，本身就是化繁为简的重要表现。进一步，我们把从测量篮球场面积过程中得到的启示，推广到其他大长方形面积的度量中，寻找一种普遍的计算规律，又是另一种化繁为简，这也是数学建模思想的重要表现，从特殊走向一般。
此外，我们应该格外关注在这节课中无处不在的“特殊到一般”“一般到特殊”的推理方式。长方形面积计算公式的推导过程就是“特殊到一般”的重要表现。而推导过程中与上节课衔接出现的“无法满铺数学书封面，那用长乘宽计算长方形面积还合适吗”的质疑，又是“一般中的特殊”。
大概念5：以上过程发展了学生的量感、推理能力、直观想象、解决问题能力及创新意识。
这五条大概念，前四条阐述了度量的核心内容及研究的思想方法，最后一条则是这部分内容对促进学生发展的教育价值。显然，价值大概念的实现有赖于前四条度量大概念的落地。
3.大单元整体备课的核心要义。
本次《义务教育数学课程标准（2022 年版）》最大的新意是将核心素养写入了总目标，且核心素养的内涵表现了整体性、一致性和阶段性。课程内容结构化便是这一理念的具体体现。因此，基于新课标的新教学也应该强调基于知识逻辑体系和学生认知规律的整体设计，改变过去过于注重以课时为单位的教学现状，制订指向核心素养的教学目标，整体把握教学内容，学生在探索真实情境所蕴含的关系中，经历指向高阶思维的自主迁移和深度学习，走出碎片化认知，实现知识与素养的同步进阶。
事实上，这两篇教学设计便是最好的例证。因为前后知识衔接紧密，学生的认知经验被充分唤醒，经历了知识的“再发现”和“再创造”，学习效果很好。
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