谈HL定理的解惑与教学建议
黄贤明
(高新区景山实验初级中学校，江苏 苏州 215129)
“斜边、直角边”定理(以下简称HL定理)是判定直角三角形全等的特有方法，也是“边边角”的一种特殊形式.在《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《新课标》)中将HL定理置于勾股定理及其逆定理之后，并提出“探索并掌握判定直角三角形全等的‘斜边、直角边’定理”[1].不难发现，《新课标》更希望学生在较为全面地掌握等腰三角形、直角三角形的相关内容后再探索HL定理，这样学生在已有认知基础上进行简单观察与推理就能够发现并证明HL定理.从内容要求而言，《新课标》要求探索并掌握该定理，即经历定理发现、归纳、证明的过程，并能够灵活应用该定理去判定直角三角形全等.这就反映了HL定理的教学既要关注定理探索的全过程，积累数学活动经验，又要关注定理的高水平理解与应用.但在实际教学中，教师往往会产生疑惑，如：使用苏科版等教材的教师会困惑如何适切地证明该定理、怎么把握“边边角”与HL定理的关系等.笔者就HL定理提出了如下几点思考，并给出教学经验，以期为一线教师提供教学参考.
1.1 对HL定理编排位置的疑惑
HL定理虽然是判定直角三角形全等的特有定理，但究其本质属于判定三角形全等的方法之一，只是其仅适用于直角三角形.在现行不同版本的教材中，对于HL定理的位置编排也有所不同，大致可以分为以下3种情况(见表1).
表1 HL定理的编排位置
可以发现，近半数教材选择了将HL定理放置于勾股定理学习之后，如此选择存在以下优势：其一，HL定理的发现过程较为自然，学生能够轻易地通过勾股定理意识到地直角三角形中已知斜边和一条直角边可以求出另一条直角边，进而利用“边边边”判定两个直角三角形全等；
其二，定理证明有着多种选择，在勾股定理的学习后，学生既可以选择勾股定理来证明，也可以选择将两个直角三角形拼成等腰三角形，利用等腰三角形的性质证明，学生也能够主动探索出该定理的证明.但如此编排也存在一定的问题：一方面，HL定理并没有与全等三角形的判定构成一个整体，而是相对脱离，缺乏连贯性，甚至有些教材将前4种全等三角形的判断方法与HL定理分别编排在八年级《数学》上下两册中，这就使得HL定理不易与学生原有的全等三角形判定的知识体系建立联结，从而在后续的运用中容易遗忘该定理；
另一方面，HL定理被放置在直角三角形章节，就会让学生产生误解，即判定直角三角形全等只能用HL定理，从而在问题解决中强行套用该定理.
当然也有近半数的教材选择将HL定理编排在“全等三角形”章节中，解决了整体性与连贯性的问题，但是受限于学生的已有认知，该定理的发现缺乏学生自主探索与独立思考的过程，定理的证明也不够自然、适切.在4个版本教材中，定理的发现都采用作图的方式得到两个直角三角形全等，进而给出HL定理.对于定理的证明，除苏科版之外，其他3个版本教材均没有给出HL定理的证明，而是将定理的证明放置在后续的学习中，这样的编排使得学生探索定理的过程不够完整.学生在能够熟练应用该定理后再进行定理的证明，对定理探索的过程而言已经丧失了它的意义.苏科版先设置了一道例题，利用“边边边”证明了等腰三角形两个底角相等，而后以动画人物对话的形式给出了HL定理的证明，略显不规范.同时，学生还没有系统学习等腰三角形就将“等边对等角”应用于证明中，难以让学生形成内在认同，只能被动接受.
综上所述，无论是将HL定理编排在何处，都有一定的合理性，拥有着各自的优势，但也存在着一些不可避免的小问题需要得到关注与解决.
1.2 如何让HL定理证明更“适切”
若教材将HL定理编排在等腰三角形或勾股定理的学习之后，学生拥有着丰富的知识基础，则对HL定理的证明也不在话下.但是教材将HL定理编排在全等三角形一章中，学生的已有认知并不能很轻易地解决该证明.因此，为了让定理的证明更“适切”，教师可以参考如下证明思路.
思路1先利用构造底边上的中线或顶角的平分线，证明等腰三角形两底角相等，然后将两个直角三角形拼接成等腰三角形，通过“角角边”证明两个直角三角形全等，进而证明HL定理.
思路2将Rt△ABC和Rt△BCD(∠A=∠D=90°)斜边重合(如图1)，分情况讨论：
图1 图2 图3
1)若AB=CD，则易证
△ABE≌△DCE，
得
AE=DE，BE=CE，
故
AC=BD，
进一步可证
△ABC≌△BCD.
2)若AC=BD，则延长BA，CD交于点F(如图2)，易证
△FBD≌△FCA，
得
FB=FC，FA=FD，
故
AB=AC，
进一步可证△ABC≌△BCD.
思路3反证法(如图3).假设BC≠B′C′，不妨设B′C′>BC，在B′C′上截取C′B″=CB，联结A′B″.由∠C=∠C′，C′B″=CB，C′A′=CA，得
△ABC≌△A′B″C′，
则
AB=A′B″.
又
AB=A′B′，
故点B′与点B″重合，假设不成立，从而
C′B′=CB，
进一步可证△ABC≌△A′B′C′.
上述3种思路学生都能够接受，但都难以依靠自主探索而发现.对于思路1而言，学生无法独立探索，必须将证明拆分为两大步，教师可以仿照苏科版教材先设置一道证明等腰三角形两底角相等的例题或练习，并将结论提取成一般的文字语言，让学生将该性质与等腰三角形、轴对称性等知识建立联结，然后在此基础上证明HL定理.对于思路2而言，对学生的认知起点相对较低，学生在先前的练习中也接触过类似的图形，但证明的过程需要用到两次全等，且还需对条件中的“一组直角边相等”进行讨论，区分是短直角边相等还是长直角边相等，对于长直角边相等还需启发学生添加辅助线.因此，思路2不适合在课堂教学中呈现，其更应以课后拓展的形式引导学生再探索.思路3属于反证法，虽然学生在“平行线的判定”中接触过反证法，但对于大部分学生而言是难以操作的，类似于思路2，也不适合在课堂中呈现.
1.3 如何把握HL定理与“边边角”的关系
“边边角”是指若两个三角形的两组边和其中一边的对角相等，则不能判定两个三角形全等.但细看HL定理的形式，不就是“边边角”的形式吗？这就说明“边边角”并不适合于所有的三角形，更明确地说，“边边角”中的“角”是指其中一边所对的锐角，如果其中一边所对的是直角或钝角时，那么可以判定两个三角形全等.徐彦辉在调查中发现73.2%的学生能够准确分辨判定三角形全等的方法，但只有10.5%的学生能够列举出“边边角”不能判定全等的反例[2].这就说明学生对于“边边角”的理解仅仅停留于记忆层面，并不清楚其内涵.在HL定理的教学之前，教师通常已经反复强调了“边边角”不能判定全等，学生不加以理解，形成了对“边边角”模糊的印象，而如今又在直角三角形中探索“边边角”，学生就会产生疑惑“到底‘边边角’能不能判定全等呢？”因此，教师要把握好二者之间的关系，应以严谨的眼光看待“边边角”，启发学生列举反例，强调“边边锐角”不能判定三角形全等，并埋下伏笔，让学生思考“边边直角”“边边钝角”能不能判定三角形全等，激发他们自主探索的欲望.
2.1 把握数学知识整体脉络，发挥不同教材的编排优势
HL定理是全等三角形与直角三角形知识体系中的交集，既是判定三角形全等的一种方法，也是直角三角形中所特有的.因此，教师不必过于纠结该内容的编排位置，顺其自然，更重要的是教会学生如何将该定理应用于问题解决中去.从HL定理的整体脉络上看，等腰三角形的性质与勾股定理都是证明HL定理的好方法，同样HL定理在等腰三角形性质的证明、勾股定理的发现中也发挥着独特的价值.
若HL定理编排于“全等三角形”章节中，则教师可以完整地构建判定全等三角形的知识体系，形成全等三角形判定的整体思路[3].在后续的学习中，HL定理不仅可以应用于其他定理的证明过程，还可以为勾股定理的探索“铺桥搭路”，即在勾股定理的发现环节，教师可以借助HL定理与“边角边”指出：若已经确定直角三角形的两条边，则所得的直角三角形唯一确定，即第三条边也唯一确定，故直角三角形的三边必然存在着某种关系，进而引入勾股定理的发现与探索中.用这种方式让学生充分感知勾股定理存在的必然性，使学生形成了对勾股定理的内在认同感，也激发了对勾股定理的探索欲望.
若HL定理编排于“直角三角形”章节中，则无论是否置于勾股定理的学习之后，该定理的发现与证明都“呼之欲出”.此时教师更应发挥数学定理的育人价值，以相关的情境和启发性的问题引发对直角三角形全等判定方法的再思考，而后通过实际操作、对比观察、抽象归纳获得HL定理及其几何语言，进而在自主思考、合作交流中证明定理.最终在定理的探索中积累数学活动经验，培养自主探索、数学交流等能力，发展数学抽象、逻辑推理等核心素养.
2.2 立足学生已有认知基础，探索定理的多样化证明
HL定理的证明方法有10余种，但受限于学生的认知基础，自然不能一股脑地全部呈现.但可以确定的是，定理是经过证明的数学命题，定理的教学自然不能脱离证明这一重要环节.若HL定理编排于“直角三角形”章节中，则定理的证明不言而喻，但若HL定理编排于“全等三角形”章节中，则定理的证明就有所挑战性.针对这种情况，教师可以参照思路1，设计课前预习环节，组织学生利用“边边边”证明“等腰三角形两底角相等”(可作为前一天的作业布置)，在课堂中捋清等腰三角形、两底角相等、对称性等知识，让学生初步拥有“等边对等角”的概念，并将其应用于定理的证明中.在课堂总结、作业布置环节，教师可以呈现思路2和思路3，引导学生在课后进一步探索HL定理的其他证明方法.当然，HL定理的证明不仅仅局限于此，如果在等腰三角形的性质、勾股定理等知识学习后，学生已经拥有了许多新工具、新方法，此时再让学生“蓦然回首”，那么原先复杂的定理证明如今“迎刃而解”.此时，既能促使学生构建HL定理与其相关知识的联结，形成数学知识网络，又能让学生在强烈的对比中感受数学学习的曲折与发展，形成数学探索的积极心理，体会数学学习的意义.
2.3 让定理的探索始于“边边角”又高于“边边角”
在大单元视角下对全等三角形的判定设计思路如图4所示，即从探索“哪3个条件的组合能够判定三角形全等”问题出发，串联起全等三角形的判定教学[4].在处理“边边角”的时候，教师常会像“角角角”一样，列举了一个反例就说明其不能判定全等，这恰恰埋下了一颗“定时炸弹”，成为HL定理教学的“隐患”.
图4
HL定理是“边边角”的一种特殊情况，其探索也可以从一般走向特殊，起始于对“边边角”的思考.具体而言，教师先组织学生尺规绘制“边边锐角”的情况，指出在此情况下“边边角”不能判定三角形全等.而后，提出问题“如果将锐角变为直角之后，‘边边角’能否判定三角形全等呢？”让学生利用尺规绘制一个直角边为3 cm，斜边为5 cm的直角三角形，相互之间比一比，发现所画的三角形都全等，归纳得到HL定理并证明.当然，探究不应止于直角，进一步教师可以组织学生思考在钝角的情况下“边边角”能否判定三角形全等，并利用几何画板直观演示，让学生意识到“边边钝角”也能唯一确定一个三角形，进而以辩证的眼光看待“边边角”，理清“边边角”与HL定理之间的关系，形成对“边边角”的深入理解.
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