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初中数学中考复习： 将军饮马”的七大模型（导学案设计无答案）
初中数学中考复习： 将军饮马”的七大模型（导学案设计无答案）
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初中数学中考复习：
将军饮马”的七大模型 （导学案设计 无答案）
初中数学，“将军饮马”的七大模型
古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦。
有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题： 如图，将军A从出
发到河边饮马，然后再到B地军营视察，显然有许多走法.问怎样走路线最短呢？精通数理的 海伦稍加思索，便作了完善的回答?这个问题后来被人们称作 “将军饮马”问题.
根据公理：连接两点的所有线中，线段最短.
若A B在河流的异侧，直接连接 AB AB与I的交点即为所求.
若A、B在河流的同侧，根据两点间线段最短，那么显然要把折线变成直线再解.
将军饮海伦解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线
现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理，即轴对称思想
轴对称的两个图形有如下性质：
关于某条直线对称的两个图形是全等形；
对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线；
两个图形关于某条直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.
将军饮马的数学问题，考察的知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线 对称”，“线段的平移”。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变 式问题考查。共有七大模型：
模型1,
模型1, PA+PB最小
模型2, PA-PB最小
同制
同制
"过河髓最短距离类型二类型一模型4,周长量短
"过河髓最短距离
类型二
类型一
模型4,周长量短
\旷
类型二
模型3, PA-PB最大
同碍 A 异侧
/ 才
、甘
【变形】异侧时，也可以问：在直线I上是否存在一点P使得直线I为/APB的角平分线
模型6,线段和最小
E ■
E ■ 科.
B,在直线I上求作一点P
B,在直线I上求作一点P，使PA+PB最小。
初中数学中考复习：
将军饮马”的七大模型 （导学案设计 无答案）
如图，点P是/ MOh内的一点，分别在 OM, ON上作点A , B。使△ PAB的周长最小
如图，点P , Q为/ MON内的两点，分别在OM, ON上作点A , B。使四边形PAQB的周长 最小。
5.如图，点A是/ MON外卜的一点, 和最小在射线
5.如图，点A是/ MON外卜的一点, 和最小
在射线ON上作点P，使PA与点P至U射线OM的距离之
6.如图，点A是/MON内的一点, 和最小
在射线ON上作点P，使PA与点P至U射线OM的距离之
初中数学中考复习：
将军饮马”的七大模型 （导学案设计 无答案）
1、2、如图，已知，△ ABC中, 求证：bd
1、
2、如图，已知，△ ABC中, 求证：bd2+ec2=de2
3、如图，在四边形 ABCD 中,
AD=4, CD=3,Z ABC=Z ADC=45,贝U BD 的长为多少?
当已知条件出现了等腰三角形、角平分线、高，或者求几条折线段的最小值等情况，通常考虑 作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件。
所有的轴对称图形（角、线、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、 一、图形中出现有公共端点的两条相等线段：
ABCD 内的一点，且 PA=1, PB=2, PC=3,求/ APB 的度数。
/ BAC=90，AB=AC,D,E是 BC上的两点，/ DAE=45，
4、如图，三角形ABC中，AB=3, AC=2以BC为边做正方形BCDE连接正方形的对角线交于 点0再连接A0则AO的最大值为 。
5、如图，三角形ABC中，AB=3, AC=2以BC为边做等边三角形BCD连接AD则AD的最大值
ABCD中，/ BAC=90 AB=AC/ ADC=45 若厶 BCD的面积为 24,则 CD的