差分方程法x
1
1）
差分方程常用解法
1、常系数线性差分方程的解
方程 a0xn k a1 xn k 1 ... a k xn b(n )
其中 a0 , a1,..., ak为常数，称方程（ 1）为常系数线性方程。
2）又称方程 a 0 xn k a1x n k 1 ... ak xn
2）
为方程（ 1）对应的齐次方程。
n如果（ 2）有形如 xn
n
如果（ 2）有形如 xn 的解，
代入方程中可得：
k k 1
a 0 a1 ... a k 1
ak 0
3）
称方程（ 3）为方程（ 1）、
2）的特征方程。
显然，如果能求出方程（ 3）的根，则可以得到方程（ 2）的解
基本结果如下：
1） 若（3）有 k 个不同的实根，则（ 2）有通解：
n n n
xn c1 1 c2 2 ... ck k ，
2） 若（3）有 m重根 （即 m个根均为 ），则通解中有构成项：
m 1 n
(c1 c2 n ... cm n )
i
i
3）若（ 3）有一对单复根
arctan，则（ 2
arctan
，则（ 2）
的通解中有构成项：
nn
c1 cos n c2 sin n
4） 若有
4） 若有 m 重复根：
i
ei ，则（2）的通项中有构
成项:
m 1 nc
m 1 n
cm 2 n ... c2m n ) sin n
(c1 c2 n ... cm n ) cos n (cm 1
综上所述，由于方程（ 3）恰有 k 个根，从而构成方程（ 2）
的通解中必有 k
的通解中必有 k 个独立的任意常数。通解可记为：
xn
如果能得到方程（ 1）的一个特解： xn ，则（ 1）必有通解：
xn xn +xn （4）
方程（ 4） 的特解可通过待定系数法来确定。
例如：如果 b（n） b pm（n）, pm（n）为n 的 m次多项式，则当 b不是 特征根时，可设成形如 b qm（n）形式的特解，其中 qm（n）为 n的 m次多 项式；如果 b是 r重特征根时，可设特解： bnnr qm（n） ，将其代入（ 1）
中确定出系数即可。
2、差分方程的 z变换解法 （复变函数和几分变换 ）
对差分方程两边关于 xn取Z变换，利用 xn的Z 变换 F（z） 来表示出 xn k 的 Z 变换，然后通过解代数方程求出 F（z），并 把 F（z）在 z=0 的解析圆环域中展开成洛朗级数，其系数就是所
要求的 xn
例 1 设差分方程 xn 2 3xn 1 2xn 0,x0 0,x1 1，求 xn
解：解法 1：特征方程为 2 3 2 0 ，有根： 1 1, 2 2
故：xn
故：
xn c1( 1)n
n
c2 （ 2） 为方程的解。
由条件 x0 0,x1 1得： xn ( 1)n ( 2)n
解法 2：设 F(z)=Z( xn ),方程两边取变换可得：
21
z2(F(z) x0 x1. ) 3z(F(z) x0) 2F(z) 0
z
由条件
由条件 x0 0,x1 1得 F(z)
z
z 2 3z 2
由 F（z） 在 z 2 中解析，有
11F(z) z(z1
11
F(z) z(z1 1 z1 2) 1
12 ( 1)k z1k
2 k 0 z z
所以， xn ( 1) n (
2)n
2k
k k k
( 1) k ( 1)k (1 2k)z k k 0 z k 0
3、二阶线性差分方程组
x n
x n a ( n ) A (a 设 z(n) A (
yn ，
c d ，形成向量方程组
z(n 1)
Az(n)
（5）
z(n 1)
Anz(1)
（6）
b
6）即为（ 5）的解。
为了具体求出解（ 6），需要求出 An ，这可以用线性代数的方法
计算。常用的方法有：
（1）如果 A 为正规矩阵，则 A 必可相似于对角矩阵，对角线 上的元素就是 A 的特征值，相似变换矩阵由 A 的特征向量构成： A p 1 p,An p 1 np, z（n 1） （p 1 n p）z（1）。
（2）将 A 分解成 A /,, , 为列向量，则有
An ( . / )n . /.. . /...
. ( / )n 1.A
从而， z(n 1) An z(1)
( / )n 1.Az(1)
3) 或者将 A 相似于约旦标准形的形式，通过讨论 A 的特征值的性态， 找出 A 的内在构造规律，进而分析解 z(n) 的变化规律，获得 它的基本性质。
4、关于差分方程稳定性的几个结果
1)k 阶常系数线性差分方程( 1)的解稳定的充分必要条件
是它对应的特征方程( 3)所有的 特征根
是它对应的特征方程( 3)所有的 特征根
i,i
1,2...k 满足 i
7)
7)
8)
2)一阶非线性差分方程
xn 1 f(xn)
7)的平衡点 x由方程 x f (x)决定，
将 f(xn)在点 x处展开为泰勒形式：
f(xn ) f / (x)(xn x) f (x)
故有：
f / (x) 1
时，( 7)的解 x 是稳定的，
f / ( x) 1
，方程（ 7）的平衡点 x 是不稳定的