河北省安平县安平中学高一数学寒假作业13实验班有答案x
河北安平中学高一年级数学学科寒假作业十三
2019 年 2 月 14
日
一、选择题
1．对两条不相交的空间直线
a 与 b，必存在平面 α ，使得 (
)
A． a? α ，b? α B ． a? α ， b∥ α
C． a∥ α ， b⊥α D ．a? α ， b⊥ α
2．如图所示，点 S在平面 ABC外， SB⊥ AC， SB＝AC＝ 2，E、 F 分别是 SC和 AB的中点，则 EF的长是 (
)
A． 1 B ． 2
C.
2
D
1
2
． 2
3. 如图所示， ABCD-A B CD 是长方体， O是 B D 的中点，直线 AC交平面 ABD 于点 M，则下列结论正确的是 (
)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
A． A， M， O三点共线 B ． A，M， O， A1 不共面
C． A，M， C， O不共面 D ． B，B1，O， M共面
4．已知直线 l ⊥平面 α ，直线 m? 平面 β ，有以下四个命题：
① α ∥ β ? l ⊥ m；② α ⊥ β ? l ∥ m；③ l ∥ m? α ⊥β；④ l ⊥ m? α ∥β .
其中正确的两个命题是
(
)
A．①②
B
．③④
C ．②④
D．①③
5. 正四棱锥 ( 顶点在底面的射影是底面正方形的中心
) 的体积为 12, 底面对角线的长为
2 , 则侧面与底面所成
的二面角为 (
)
A 30 °
B 45
°
C 60 °
D90
°
6．已知互相垂直的平面
α 、β 交于直线 l . 若直线 m、 n 满足 m∥ α， n⊥ β ，则 (
)
A． ∥
B ． ∥
n
C ．
⊥
l
D． ⊥
m l
m
n
m n
7．如图，在正方体
ABCD－ A B CD 中， M、 N 分别为棱 BC和棱 CC的中点，则异面直线
1
1
1
1
1
AC与 MN所成的角为 (
)
A．30°
B ．45°
(C)60
°
(D)90 °
8．已知 A，B，C，D是空间不共面的四个点，
且 AB⊥ CD，AD⊥ BC，则直线 BD与 AC(
)
A．垂直
B
．平行
C ．相交
D．位置关系不确定
二、填空题
如图 , 点 P 在正方体 ABCDA1B1C1D1 的面对角线 BC1 上运动 , 则下列四个命题 : ①三棱锥 A D1PC的体积不变 ; ② A1P∥平面 ACD1;
③ DP⊥ BC1; ④平面 PDB1⊥平面 ACD1.
其中正确的命题的序号是
.
10．已知三棱锥 S－ ABC的所有顶点都在球
O的球面上， SC是球 O的直径．若平面 SCA⊥平面 SCB，
＝
， ＝ ，三棱锥
－
的体积为
9，则球
O
的表面积为 ____.
SA
AC SB BC
S
ABC
三、解答题
11. 如图 , 在四棱锥 P ABCD中 ,PA ⊥平面 ABCD,底面 ABCD为直角梯形 ,AB ⊥AD,AB∥CD,CD=AD=2AB=2AP.
求证 : 平面 PCD⊥平面 PAD;
在侧棱 PC上是否存在点 E, 使得 BE∥平面 PAD,若存在 , 确定点 E 位置 ; 若不存在 , 说明理由 .
12．如图所示， ABCD是正方形， O是正方形的中心， PO⊥底面 ABCD，底面边长为a， E 是 PC的中点．
(1) 求证： PA∥面 BDE；
1
求证：面 PAC⊥面 BDE；
若二面角 E－ BD－ C为 30°，求四棱锥 P－ ABCD的体积．
︵
13．如图，矩形 ABCD所在平面与半圆弧 CD所在平面垂直， M是CD 上异于 C， D的点 .
证明：平面 AMD⊥平面 BMC；
在线段 AM上是否存在点 P，使得 MC∥平面 PBD？说明理由．
河北安平中学高一年级数学学科寒假作业十三答案
1. 解析：已知两条不相交的空间直线 a 和 b，可以在直线 a 上任取一点 A，使得 A?b. 过 A 作直线 c∥ b，则过 a，
c 必存在平面 α 且使得 a? α， b∥ α . 答案： B
解析：取 SA的中点 H，连接 EH、 FH( 图略 ) ．因为 SB⊥AC，则 EH⊥ FH，
在△ EFH中，应用勾股定理得
EF＝
2. 答案： B
1 ?
面
1 1.
3. 解析：连接 1 1，
，则
1 1∥
，所以
， ， 1， 1 四点共面，所以
AC
ACA C
AC
A
C C A
A C
ACCA
因为 M∈ A1C，所以 M∈面 ACC1A1，
又 ∈面
1 1，所以
在平面
1
1 与平面
1
1 的交线上，同理
在面
1 1 与面
1 1
M
ABD
M
ACCA
ABD
O
ACCA
ABD
的交线上，所以 A，M， O三点共线，故选
A.
解析：若 α ∥ β， l ⊥ α ，则 l ⊥ β，又 m? β ，所以 l ⊥ m，故①正确；若 α ⊥β ， l ⊥
α ，m? β ，则 l 与 m可能异面，所以②不正确；若
l ∥ m，l ⊥ α ，则 m⊥ α，又 m? β ，
则 α ⊥ β，所以③正确； 若
l
⊥ α ， ⊥ ， ? β，则 α 与 β 可能相交， 故④不正确． 综
l m m
上可知，选 D.
解析 : 如图 , 在正四棱锥 S ABCD中 ,SO⊥底面 ABCD,E是 BC边中点 , 则∠ SEO即为侧面与底面所成的二面角的平面角 . 由题易得 SO=3,OE= ,tan ∠ SEO= , 所以∠ SEO=60°, 故选 C.
6.[
解析 ]
选项 A，只有当 m∥ β 或 m? β 时，m∥ l；选项 B，只有当 m⊥ β 时，m∥ n；
选项 C，由于
l
? β，∴ ⊥
；选项 D，只有当 ∥β 或 ? β 时， ⊥ ，故选 C．
n
l
m
m
m n
7.[
解析 ]
如图，连接 A C、BC、A B．∵ M、N分别为棱
BC和棱 CC的中点∴ MN∥ BC．又
1
1
1
1
1
1
1 1∥∴∠ 1
1
为异面直线
与
所成的角．
A C
AC
A CB
AC
MN
∵△ A1BC1为正三角形∴∠
A1C1B＝60°. 故选 C．
8.[
解析 ]
过点
A
作
⊥平面
，垂足为
，连结
BO
AO
BCD
O
∵ AB⊥CD，由三垂线定理可得
BO⊥CD．同理 DO⊥ BC，∴ O 为△ ABC的垂心所以
CO
BD， BD⊥AO， CO∩AO＝ O，∴ BD⊥平面 ADC，所以 BD⊥ AC．故选 A．
9 解析 : 如图 , 对于① , 容易证明 AD1 ∥BC1, 从而 BC1∥平面 AD1C,故 BC1 上任意一点到平 面
2
AD1C 的距离均相等 , 所以以 P 为顶点 , 平面 AD1C 为底面的三棱锥的体积不变 , 即三棱锥 A D1PC的体积不变 , ①正确 ; 对于② , 连接 A1B,A1 C1, 容易证明 A1C1 AC,由①知 ,AD1∥BC1, 所以平面 BA1C1∥平面 ACD1, 从而由线面平行的定
义可得 , ②正确 ; 对于③由于 DC⊥平面 BCC1B1, 所以 DC⊥ BC1, 若 DP⊥ BC1, 则 BC1⊥平面 DCP,BC1⊥ PC,则 P 为中点 ,
P 为动点矛盾 , ③错误 ; 对于④ , 连接 DB1, 由 DB1⊥ AC且 DB1⊥ AD1, 可得 DB1⊥平面 ACD1, 从而由面面垂直的判定知④正确 . 答案 : ①②④
10[ 解析 ] 如图，连接 OA， OB．
SA＝ AC， SB＝ BC， SC为球 O的直径，知 OA⊥SC， OB⊥SC．
由平面 SCA⊥平面 SCB，平面 SCA∩平面 SCB＝ SC， OA⊥ SC，知 OA⊥平面 SCB．
设球 O的半径为 r ，则 OA＝ OB＝ r ， SC＝ 2r
r 3
∴三棱锥 －
的体积
1
1
) ·
＝ ×( ·
＝
S
ABC
V 3
2SC
OB
OA
3
r 3
2
即 3 ＝ 9，∴ r ＝ 3，∴ S 球表 ＝ 4π r ＝ 36π ．
11(1) 证明 : 因为 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥ CD. ①
又因为 AB⊥ AD,AB∥CD,所以 CD⊥ AD. ②
由①②可得 CD⊥平面 PAD.又 CD? 平面 PCD,所以平面 PCD⊥平面 PAD.
解 : 当点 E 是 PC的中点时 ,BE ∥平面 PAD.
证明如下 : 设 PD 的中点为 F, 连接 EF,AF, 易得 EF 是△ PCD 的中位线 , 所以 EF∥
CD,EF= CD.由题设可得 AB∥ CD,AB= CD,所以 EF∥ AB,EF=AB, 所以四边形 ABEF为平行四边形 , 所以 BE∥ AF.
BE?平面 PAD,AF? 平面 PAD,所以 BE∥平面 PAD.
12 解 (1) 证明： 连接 OE，如图所示． ∵ O，E 分别为 AC，PC的中点， ∴ OE∥ PA. ∵ OE? 面 BDE，PA?面 BDE，
PA∥面 BDE.
证明：∵ PO⊥面 ABCD，∴ PO⊥ BD.
在正方形 ABCD中， BD⊥ AC，又∵ PO∩AC＝ O，∴ BD⊥面 PAC. 又∵ BD? 面 BDE，∴面PAC⊥面 BDE.
如图所示，取 OC中点 F，连接 EF. ∵ E为 PC中点， ∴ EF为△ POC的中位线，∴ EF∥ PO.
又∵ PO⊥面 ABCD，∴ EF⊥面 ABCD，∴ EF⊥BD.
OF⊥BD， OF∩EF＝ F，∴ BD⊥面 EFO，∴ OE⊥ BD.
∴∠ EOF为二面角 E－ BD－ C的平面角，∴∠ EOF＝30°.
1 1 2 6 6
Rt△ OEF中， OF＝ 2OC＝4AC＝ 4 a，∴ EF＝ OF·tan30 °＝ 12 a，∴ OP＝ 2EF＝ 6 a.
1
2
6
6
3
∴ VP－ABCD＝ × a ×
6
a＝ a .
3
18
13[ 解析 ]
(1) 由题设知，平面⊥平面
，交线为
CD．
CMD
ABCD
因为 BC⊥ CD， BC? 平面 ABCD，所以 BC⊥平面 CMD，故 BC⊥ DM．
︵
因为 M为 CD 上异于 C， D的点，且 DC为直径，所以 DM⊥ CM．
BC∩ CM＝ C，所以 DM⊥平面 BMC．
DM? 平面 AMD，故平面 AMD⊥平面 BMC．
当 P 为 AM的中点时， MC∥平面 PBD．
证明如下：连结 AC交 BD于 O. 因为 ABCD为矩形，所以 O为 AC中点．
连结 OP，因为 P 为 AM中点，所以 MC∥ OP．
MC?平面 PBD， OP? 平面 PBD，所以 MC∥平面 PBD．
3
4