基于q-Bessel多项式求柯西奇异积分方程数值解
陈 锐,陈 冲
(1.西华师范的大学 数学与信息学院,四川 南充 637000;2.西华师范的大学 公共数学学院,四川 南充 637000)
积分方程是近代分析数学的一个重要分支,其理论被广泛应用于科学与技术的很多分支.由于部分积分方程的求解难度较大,数值方法成为求解这类积分方程的一种实用方法.由于积分方程应用的广泛性,人们对于积分方程的研究也从未停止,而奇异积分的研究更是越来越得到重视.其中具有柯西核的奇异积分在物理和工程等领域有重要应用,如接触辐射[1]、断裂力学[2]、弹性动力学[3-4]、分子传导[4]和接触力学[5-6]等.
某些柯西奇异积分方程很难找到解析解,因此众多研究者已经开发了几种精度较高的数值方法来求解这些奇异积分方程.例如配置法,其中使用Jacobi多项式[7],Lagrange插值与Guass-Jacobi求积样条法[8],使用第二类Chebyshev多项式[9],Bernstein多项式[10-12],正交Legendre多项式[11],Hermite插值方法[13],以及Bessel多项式[14]等近似待求函数,进而求解柯西奇异积分方程,还有Galerkin方法[15],Nystr?m方法[16]也可求解柯西奇异积分方程.
本文中,采用一种新的多项式逼近待求函数,应用离散配置法求解柯西奇异积分方程
其中f(s)是一个给定的已知函数,α,β是常数,x(s)是待求的函数.首先,采用平滑变换消除方程(1)中积分项的奇异性,即[17]
(3)
对方程(3)的积分部分以Legendre多项式的根作为配置点进行离散,并转换成矩阵形式求解.
n阶q-Bessel多项式yn(x)的显示公式定义如下
其中,k=0,1,…,n和0 使用截断的q-Bessel多项式序列来近似x(s),即 其中,{xi|i=0,1,…,n}是q-Bessel多项式的待求系数. 下面将详述数值求解柯西奇异积分方程的算法步骤. 首先,将xn(s)代入方程(3)的左端,记剩余函数 选取Gauss-Legendre的n+1个根s0,s1,…,sn∈[-1,1],令剩余函数在这些离散点上为零值,即 τn(sj)=0,j=0,1,…,n, (6) 则 其中,sj∈[-1,1],j=0,1,…,n.进一步采用Gauss-Legendre求积公式近似方程(7)中的积分项得 若令 则,方程(8)转化为矩阵形式 XTV=F. (9) 如果det(V)≠0,那么方程(9)有唯一解,从而可以求解出系数矩阵 XT=FV-1. 因此,可得q-Bessel系数{xi|i=0,1,…,n}.将其代入(5)式,可求得近似解x(s). 下面对上述方法进行误差分析. 定理1[18]假设s0,s1,…,sn是Legendre多项式在[-1,1]上的n+1个不同的根,并且n是一个正整数.如果用q-Bessel基多项式来逼近函数x(s)∈Cn+1[-1,1],取其前n项为xn(s),则存在η∈(s0,sn),使得 证明由于给定的空间Cn+1[-1,1]是有界的,则存在常数ρ,有 因此,结合定理1,范数定义,H?lder不等式及(5)式 故 根据q-Bessel多项式中q的要求,为了保证实验数据的统一性,统一取q=1/2. 例1[19]求解下列柯西奇异积分方程 (10) 其准确解为x(s)=s2+s3. 方程(10)是第一类柯西奇异积分方程,首先采用平滑变换消除奇异性,然后再利用Gauss-Legendre求积公式近似积分项,这里取m=8.当n=3,4时方程的不同计算结果如表1所示,同时与文献[19]中利用外推公式求解柯西积分方程的误差结果做比较.由表1的数据分析可得当m=8和n=3时的误差分析图如图1.算例表明,计算结果的误差值随着n的增加而减小.由于精确解是3阶多项式,多次实验可发现n<3时的误差并不理想,因此在近似解的过程中,满足n≥3. 表1 当n=3,4,m=8时方程(10)的计算结果与文献[19]的比较 例2[14]求解下列第二类柯西奇异积分方程 (11) 其中a=b=1,精确解为x(s)=cos(s),以及 f(s)=-Ci(-s-1)cos(s)+Ci(1-s)cos(s)-Si(1-s)sin(s)-Si(s+1)sin(s)+cos(s) 这里用精确解为一个非多项式的例子来检验本文所讨论的方法.方程(10)是第二类Fredholm形式的柯西奇异积分方程,采用同样的方法,将其转化成方程组(8)的形式,这里取m=8,n=10,12.表2展示了当m=8和n=10,12时方程在不同节点的误差分析结果以及与文献[14]中采用贝塞尔多项式逼近待求函数的方法做比较.当m=8,n=12时,不同节点的数值解,精确解和绝对误差如图2所示.这个数值算例也表明,文中算法的精度误差随着q-Bessel多项式阶数n的增加而逐步减小. 图1 当m=8,n=3的误差分析 图2 当m=8,n=12误差分析. 表2 当n=10,12,m=8的计算结果比较 在处理实际问题时,会遇到大量的柯西奇异积分方程类型的模型,方程的奇异性使其求解难度加大.本文首先采用q-Bessel多项式近似柯西奇异积分方程中的待求函数;其次,采用平滑变换消除柯西奇异积分中的奇异性,并采用Gauss-Legendre求积公式对积分项进行近似;最后,将其转化为代数方程组的矩阵形式来求得数值近似解.算例中的数据显示了该方法所得的误差值较低,同时本文使用的q-Bessel多项式也可以应用到其他类积分方程.
