差异教学理念下的初中几何解题教学案例
广东省中山市第一中学(528400) 刘浩
《义务教育数学课程标准(2022年版)》明确指出“义务教育数学课程致力于实现义务教育阶段的培养目标,使得人人都能获得良好的数学教育,不同的人在数学上得到不同的发展,逐步形成适应终身发展需要的核心素养”.为此,在初中几何解题教学中对存在个体差异的学生进行差异化教学很有必要.差异化教学是指在教学中根据不同学生的知识水平、学习能力等因素,教师选择适合的学习材料和方法进行针对性的教学,使学习能力强、中、弱的学生在数学方面都得到不同程度的发展:基础好的学生,其数学素养更上一层楼,能高效地进行高中阶段的学习,乃至更进一步的学习;中等程度的学生,其学习兴趣和潜能得到激发,具备继续学习数学的基础和能力;基础较弱的学生,能顺利地完成初中阶段的学业,具备适应今后工作和生活相应的数学素养.下面以一道经典的几何题为例说明在初中几何解题教学中如何开展差异化教学.
如图1,在平面直角坐标系中,已知A(6,6),B(12,0),M(3,0),点N在线段MB上,∠MAN=45?.
图1
(1)判断?AOB的形状并说明理由;
(2)求线段AN的长.
大多数的学生均可完成第(1) 问,因此可以让中等偏下水平的学生进行展示,提升他们的信心:?AOB是等腰直角三角形,理由如下:如图2,过点A作AE⊥x轴,垂足为E,作AF⊥y轴,垂足为F,∴E(6,0),F(0,6).在Rt?AEO中,由勾股定理,AO=6.同理AB=6.∴BO2=AO2+AB2=122.由勾股定理逆定理得:?AOB是直角三角形.∵AO=AB,∴?AOB是等腰直角三角形.
图2
有一定解题经验(中等偏上水平) 的学生可以识别出第(2) 问中的半角关系并顺利完成解题.可以请他们进行展示,进一步发展他们的思维能力和表达能力.题中的半角关系即∠MAN=45?,∠OAB=90?.从而∠MAN旁边分散开的两角∠NAB与∠OAM的和为45?.为了利用这一关系,可以将?ABN绕点A顺时针旋转90?得到?AOG(如图3).∵?AOB是等腰直角三角形,∴∠ABO=∠AOB=45?.∴∠AOG=∠ABO=45?.∴点G在y轴正半轴上,设N(n,0),则G(0,12?n).连接GM,AG=AN.∠GAM=∠MAN=45?.∴?AGM?ANM(SAS),∴GM=NM=n?3.在Rt?OMG中,由勾股定理得(n?3)2=(12?n)2+32.解得n=8.∴AN=
图3
为了利用 ∠NAB+∠OAM=45?,还可以将∠MAN分开成两个角分别与它们相等.如图4,作 ∠MAC=∠OAM,AC=AO,连接MC、NC,则∠NAC=∠BAN,AC=AB,可得?OAM?CAM(SAS),?CAN?BAN(SAS),进一步知∠NCM=90?.设N(n,0),在Rt?MCN中,由勾股定理得(n?3)2=(12?n)2+32.解得n=8.∴AN=
图4
初三的学生已经学习了相似的相关知识,知识掌握得比较扎实的学生会从题目图形中发现∠MAN=∠AOB=∠ABO=45?,从而发现一些基本的相似图形.如图5,?MAB∽?MNA.∴设N(n,0),则解得n=8.∴AN=在教学中应鼓励学生从多角度去思考和发现,使他们的学习兴趣和潜能得到激发,进一步发展学习数学的能力.
图5
在教师的引导下,学生回忆和梳理求线段长度有勾股定理、相似(三角函数)、面积、解析等几大类方法.因此教师鼓励学生继续探究是否还有其他解法.思路开阔的学生可以想到下面的等面积方法:如图6,过点M作MH⊥AN,垂足为H,设N(n,0).由(1) 知:AM=3(n?3).∵ ∠MAN=45?,∴等腰直角?AMH中:又∵S?AMN=× MH,∴AN=(n?3).解得n=8 或n=?12(舍去),∴
图6
对于学有余力的学生,为使其数学素养更上一层楼,为高中阶段的学习奠定良好的基础,还可以引领他们继续学习以下两种方法:
如图6,过点M作MH⊥AN,垂足为H,设N(n,0).由(1) 可知:AM=∵∠MAN=45?,∴等腰直角?AMH中:AH=MH=. ∵A(6,6),N(n,0),∴直线AN的解析式为:变形为又∵MH ⊥AN,M(3,0),由点到直线距离公或得解得:n=8 或n=?12(舍去).∴AN=
由(1) 知A(6,6),M(3,0),直线AM的解析式为:y=2x?6.设直线AN的解析式为:y=kx+6?6k,(k≠0),∵∠MAN=45?,由夹角公式得=tan 45?=1,解得:k=3.∴直线AN的解析式为:y=?3x+24,它与x轴交点坐标为(8,0),即N(8,0).∴AN=
对于基础较好的学生,还可在以上一题多解的基础上,进行一题多变的研究,发展学生从特殊到一般,发现数学结论和规律的能力.如对题目中的特殊的边、角做以下改变和拓展:(变式1)将点M变成线段OB上的动点,把“点N在线段MB上”变为“点N在x轴上”,并探究?AMN面积何时最小;(变式2)把“等腰直角?AOB,∠MAN=45?”变为“?AOB是顶角为120?的等腰三角形,且∠MAN=30?”;(变式3)把“等腰直角?AOB,∠MAN=45?”变为“?AOB是以∠OAB为顶角的等腰三角形,且∠MAN等于等腰三角形的底角”等.不难发现,将题目条件弱化(即由特殊走向一般后),计算难度增大,解题思路和方法则基本不变.需要注意的是,条件弱化后,可能需要根据实际情况进行分类讨论,对答案进行取舍.以下给出三种变式的解答.
(变式 1) 如图 7,在平面直角坐标系中,已知A(6,6),B(12,0),M(m,0)(其中0< m <12) ,点N在x轴上,∠MAN=45?.
图7
(1)求线段AN的长(用含m的式子表达);
(2)当m为何值时,?AMN面积最小.
解设N(n,0),由(1) 知∠OAB=90?,∠ABO=45?,又∵ ∠MAN=45?∴ ∠MNA=∠NAB+∠ABO=∠NAB+45?=∠NAB+∠MAN=∠MAB.又∵∠AMB=∠AMB∴?MAB∽?MNA.∴即:若N在M右侧,即n > m,则若N在M左侧,即n < m,则n=AN=
(3)由(2)知,若n>m,则.当m=12?时,SAMN有最小值?36.若n 当m=12?时,S?AMN有最小值 图8 (1)请判断?AOB的形状并证明; (2)求线段AN的长; (3)当m为何值时,?AMN面积最小. 解(1) ?AOB是等腰三角形,证明如下:如图9,过A作AE⊥x轴,垂足为E,则E(6,0),又∵B(12,0),∴AE垂直平分OB,∴AO=AB.∴?AOB是等腰三角形. 图9 (2) 设N(n,0),由(1) 知:tan ∠ABO=∴ ∠ABO=30?,∵ ∠MAN=∠ABO=30?,∠BMA=∠AMN,∴ ?MAB∽?MNA,∴即=若N在M右侧,即n > m,若N在M左侧,即n < m,n=AN= (3) 由已知:S?AMN=由(2) 知:若 当m=12?时,S?AMN有最小值24?若n 当m=12?时,S?AMN有最小值24? 综上,当m=时,S?AMN有最小值 (变式 3) 如图 10,在平面直角坐标系中,已知A(a,b)B(2a,0),M(m,0),点N在x轴上,且∠MAN=∠ABC. 图10 (1)请判断?AOB的形状并证明; (2)求线段AN的长; (3)当m为何值时?AMN面积最小. 解(1)?AOB是等腰角形,证明如下:如图11,过A作AE⊥x轴,垂足为E,则E(a,0),又∵B(2a,0),∴AE垂直平分OB,AO=AB,∴?AOB是等腰三角形. 图11 (2)设N(n,0),由 (1) 知:∠MAN=∠ABO,∠BMA=∠AMN,∴?MAB∽?MNA,∴即若N在M右侧,即n > m,则若N在M左侧,即n (3)由已知:S?AMN=由(2)知:若n > m,则 ∴ 当m=2a?时,S?AMN有最小值若n ∴ 当m=2a?时,S?AMN有最小值 综上,当m=2a?时,S?AMN有最小值 差异教学理念下的初中几何解题教学,坚持以学生为主体,教师起引导、连接和点评的作用.对容易题,请中下水平学生进行展示;对中等题,请基础较好的学生进行展示:对拓展题,请能力较强的学生进行解答和展示.在分析和点评的过程中关注学生的行为,重视师生互动、生生互动.立足学情,引领学生发现解题思路并进行总结,关注不同层次学生发展的需要,用一题多解、一题多变等方式差异化提升学生的知识和能力,达到“人人都能获得良好的数学教育,不同的人在数学上得到不同的发展,逐步形成适应终身发展需要的核心素养”.
