高观点下MPCK解题教学促职前教师专业化发展
扬州大学数学科学学院(225001) 王轶
学科教学知识(PCK)最早是由美国学者Shulman 针对师范教育中教学知识和学科知识的割裂而提出的一个重要概念,他将其定义为:教学内容知识是教师独有的、可以将内容知识和教学法知识融合在一起的特殊形式的知识类型,用以说明教师如何选择特有的材料和方式组织教学,以促进学习者的学习[1].自从Shulman 提出PCK 概念后,引起了教育界的关注,许多从事数学教育的学者也开始从数学教育的角度对PCK 进行研究,因此也就形成了数学教师特有的“数学学科教学内容知识”(Mathematics Pedagogical Content Knowledge),简称MPCK.
MPCK 提出后,各专家学者一方面在其本质、特征和结构方面展开研究,另一方面则从教师专业发展层面进行MPCK 的案例剖析、教师培训.目前国内对于MPCK 的结构研究中,香港学者黄毅英的分类是最受数学界认可的,他将MPCK 分为互有重叠的三个部分:(1)数学学科知识(Mathematics Knowledge,简称MK);(2)一般教学法知识(Pedagogical Knowledge,简称PK);(3)有关数学学习的知识(Content Knowledge,简称CK)[2].在实际的教学中,则需要教师综合运用这三部分知识,三者产生交集,也就形成了数学教师所应具备的专业核心知识——MPCK,利用韦恩图可以直观的感受其结构,见图1.
图1
教师的MPCK 提升必然要在真实的教学环境下进行,所以即使有些在职教师缺乏最新的MK、PK、CK 知识,但由于其一线教学经验充足,其MPCK 也会比较充足.所以,要想提升职前教师的MPCK 水平,就十分有必要模拟真实的教学情境,进行MPCK 案例的研发与剖析.根据舒尔曼的说法“教师不仅需要了解某事是这样的,还必须进一步了解为什么会这样”,教师的知识应该超越对学生要掌握的知识的认识,从高处着眼,低处入手,形成各教师自己的教学原则和方法,才能帮助学生理解和拓展所学知识.所以,下面以一道初中数学题与一道高考题为例,分析并展示在不同学段借助高等视角进行中学教师数学教学内容知识(MPCK)的优化与拓展,同时也可以为数学师范生与职前教师的MPCK 培训提供素材和方向.
案例1[1985年全国初中数学联赛题]有甲、乙、丙三种货物,若购甲3 件、乙7 件、丙1 件,共需3.15 元;若购甲4件、乙10 件、丙1 件,共需4.20 元;现在购买甲、乙、丙各一件共需几元?
(1)从MK 的角度:首先将生活问题转化为数学问题,将问题解决步骤转向三元一次方程组及其解法的相关知识.其次在解题中涉及到化归、整体代入等数学思想方法的运用.
(2)从PK 的角度:本题在初中阶段学生的解决重点在于将新知转化为已知,把未见过的问题转化为学过的问题,引起学生新旧知识的矛盾,所以在实际教学时,可选择启发引导式、小组讨论等策略,鼓励交流,引导学生找出题目特点进行转化解题.
(3)从CK 的角度:初中阶段的学生有符合其年龄特征的认知水平,应结合学生的具体思维发展水平来考虑问题解决的方法和策略.
(4)优秀初中教师的MPCK 综合运用
设甲、乙、丙的单价分别为x元、y元、z元,由题意得
对于中学生来说,这是一个非常规的三元一次方程组,三个未知数,仅有两个方程,不能将未知量一一解出.教师要培养学生解题时的观察、分析能力,引导学生通过多种途径将其变形为常规二元方程组的求解.
途径1在保持知识的连贯性的基础上,将题目的求解目标尽可能与已知条件相关联,既然所求是x+y+z的值,那就尝试将其整体作为二元一次方程组的一个未知量,将原方程变形为于是,x+y+z的求值转化为加减消元法消去x+3y.在这个过程中,教师其实就是将换元的思想渗透到了数学语言教学环境中.
途径2若我们已经有了将三元一次方程组转化为二元一次方程组的意识,也可以视x,y为主元素,将原方程组变形为解得从而x+y+z=1.05.
以上的解题思路是基于学生以往学习的关于二元一次方程组的知识和经验进行分析的,把难度大的问题转化为难度小的问题,将特殊问题转化为一般问题,问题解决过程伴随着数学思想方法的运用,问题的步步转化也遵循数学思想方法的指引.所以初中教师要想提高教学质量,必须要尽可能的扩展自己的MPCK,用学生易于理解的和接受的方式进行教学.若教师仅将问题描述为①×3?②×2 得x+y+z=1.05 的简单消元计算,恐怕学生更会认为解题过程具有巧合性而丧失问题解决的信心和积极性.那这种解法是否只是思维突然碰撞出的“巧合”?
数学是严谨的,每个解法背后都有科学性来支撑.对于不同阶段的学生,数学的严谨性可以不同,所以教师教学的切入点和目标也有所不同[3].初中阶段对空间几何并不深入,但拥有丰富MPCK 的教师则会借此机会为学生未来更加深入的数学学习开一扇小窗,这也是有经验教师MPCK 灵活使用的标志.以下给出两种高观点角度的MPCK 综合应用.
(5)空间解析几何角度的MPCK
在解析几何中,平面可以通过一个三元一次方程来描述,这样,我们就可以建立起本题三元一次方程组及其求解的几何意义:①、②表示了两个平面,而求解则是确定一个过其交线的平面(求k):
可设出过①、②交线的所有平面λ(3x+7y+z?3.15)+μ(4x+10y+z?4.20)=0,整理得到(3λ+4μ)x+(7λ+10μ)y+(λ+μ)z=3.15λ+4.20μ,令可解得λ=3,μ=?2,从而得③中的k为k=3.15×3?4.20×2=1.05.由此得到简便解法:
解①×3?②×2 得x+y+z=3.15×3?4.20×2=1.05
在数学教与学的过程中,有些知识站在高视角上看是简单的,但是要向学生解释清楚却十分困难.而没有空间知识作指导,要找到这个解法并不轻松,看似简洁快速的解题过程,背后却有坚实的数学逻辑支撑着.
(6)代数角度的MPCK
在线性代数中,由于行列式与多项式存在许多结合点,这就使得我们可以以行列式为工具来解决多项式中的某些问题:将方程①、②、③联立,得三元非齐次线性方程组有非零解,又可得行列式解法.但显然这种解法已经超出了教学的要求,但仍是一位优秀教师应该具备的MPCK.运用高等数学知识的观点去理解中学数学的教材、内容和问题,从而提高自身对MK、PK、CK 的理解,以便更好地指导教学,这应是目前一部分中学教师所缺少的、应该正视的问题.
案例2[2021年全国乙卷理12 题]设a=2 ln 1.01,b=ln 1.02,c=则()
(1)从MK 的角度:此题是高考中常见的一类比较大小的题目,以不等式为支架,考差了函数及导数的单调性和最值问题,其中涉及到的转化及构造函数思想则是解题的关键,综合性较强,不仅需要扎实的基础知识,还需要恰当的方法和技巧.
(2)从PK 的角度:本题的解决需要在教师的分析和引导下找到合适的思路,因此应以讲授法为主,并留给学生思考的余地,循序渐进,避免让学生产生畏难情绪.
(3)从CK 的角度:作为高考卷的一道压轴选择题,难度较高,教师在了解学生目前的知识水平的状况下,应预测到学生在解题过程中可能出现的疑问和错误,对能力不同的学生也能有针对的教学,既要让基础差的学生找到常规的解题思路,也要鼓励基础较好的学生拓展思维和方法.
(4)优秀高中教师MPCK 的综合运用
经过高中阶段的系统学习,比较大小类型的题目已经有几种比较固定的解法,比较常见的有:一,利用函数单调性、奇偶性或特殊值来进行比较; 二,作商法,利用“1”来比较;三,作差法,利用a?b>0 来比较;四,图像法.
显然a,b可以直接进行比较,∵a=2 ln 1.01=ln 1.0201,b=ln 1.02,∴a>b.
可以排除A、D 选项,只需比较a,c
根据波利亚的解题思想,拟定解题方案时,可以引导学生尽量回想一道所熟悉的具有相同或相似变量的题目.在高一学习函数部分的时候,经常会接触到对数、指数、及其他很多莫名其妙的数字比大小的问题,而在函数单调性学习时,在定义域的某个区间内任取x1< x2,比较f(x1),f(x2)的大小,最常使用的是作差法.所以考虑到选择压轴题的复杂性,可以尝试构造差函数.
令f(x)=2 ln(1+x)?(?1),0< x <1,又令=t,则?t+1=2 ln(t2+3)?t+1?2 ln 4,∴g′(t)=∴g(t)在上单调递增,∴g(t)>g(1)=2 ln 4?1+1?2 ln 4=0,∴f(x)>0,∴a>c.
同理,若想比较b、c,也可以构造函数
或许当答案直接呈现在学生面前的时候,几乎所有学生也都能够理解,但独自解题时却又会无从下手.但只要教师拥有足够的MPCK,把握数学知识的科学性和严谨性、针对不同情况采取不同的教学策略、对学生的疑难障碍进行正确预测,就能够对问题有更广阔的理解,从而选择适合学生理解和学习的教学呈现方式.
(5)高观点下的MPCK
在高考中,许多命题都可以溯源到高等数学的某些概念,泰勒公式则是函数命题中常见的桥梁.高中阶段,学生的认知水平较高,可以渗透较高的数学观点,熟记常见的泰勒公式展开式,对于立志突破瓶颈的基础较好的学生来说,“性价比”很高.
在此题中,则恰好涉及了两个常见的泰勒公式及其重要应用——近似值估算.
先比较a,c:取xa=0.01,代入①式,得a=2 ln(1+0.01)=0.02?(0.02)2++···,取xc=0.04,代入②式,得···
以上两式第一项相等,第二项下面更小,而后面的项远小于前面的,可以忽略.∴a > c,再比较b,c:取xb=0.02,代入①的原式,得
此题应用泰勒公式后,计算量大幅度降低.在解相关小题中,若常规思路受阻,则更是可以直接使用泰勒公式.在教学中,教师只有拥有专业的MPCK,才能使“高观点”下的中学教学具有选择性、引导性、衔接性,将合适的知识教给合适的学生,在不脱离学生认知的情况下给予他们思维的拓展.
笔者基于对上述两个案例的分析,在就读学校的学科教学(数学)专业一年级的30 名学生中开展了调查,采用问卷法、访谈法,根据对德国coactiv 研究团队的MPCK 概念框架的理解,生成了学科教学(数学)专业硕士MPCK 测评表(见表1),来反馈被研究者的学科教学知识(MPCK)发展到何种程度.在调查中,初、高中不同学段的被试分别对应案例一、二的题目,让其列出尽可能多的解法及教学思路.
表1 学科教学(数学)专业硕士MPCK 测评表
根据对调查结果的分析:学科教学(数学)专业硕士MK水平较低,虽然基本能正确解题,但无法对题目展开联想从而寻找更多的解题思路;PK 水平教好,能够根据解题思路选择合适的教学方法、实施正确的教学手段来引导学生正确解题;CK 水平一般,近一半的同学无法预测到学生在解题过程中的疑问,不能够站在学生的角度思考问题.
综合上述,学科教学(数学)专业硕士在研究生一年级的MPCK 还有很大的提升空间,既要强化对数学学科知识的理解和联系、提高对教学法的融合应用,也要关注学生层面,深入研究学生学习的理论和实践.后续将对应案例剖析作为解题教学指导后,他们对于学科知识、教学思路、课堂预设等的认识都有了一定程度的提高,可见,采用MPCK 案例剖析的培训方式,对提高职前教师的专业化水平效果显著,也期待更加系统化的MPCK 教师培训模式的生成.
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