引力波：宇宙的“声音”
舒富文 冯嘉茜
2016年2月11日是一个值得让世人铭记的日子。这一天，美国激光干涉引力波天文台（Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory， LIGO）合作组宣布，人类首次探测到了引力波。这是自爱因斯坦提出引力波后，在经历了整整100年的不懈努力后，人类的又一智慧结晶。让我们循着人类探索的足迹，从百年前的那个冬天开始，回顾认识引力波的旅程。
1915年的冬天，第一次世界大战的炮声没能阻止年轻的爱因斯坦前进的步伐。这一年的11月，爱因斯坦终于解开了困扰了他近十年的谜团，得到了正确的引力场方程，正式宣告了广义相对论的诞生。次年的初夏，爱因斯坦在《普鲁士科学院会刊》发表了第一篇关于引力波的论文，揭开了引力波研究的序幕。在文章中，他根据各种近似首次推导出引力波的波动方程和四极矩公式，其中四极矩公式表明：大质量物体加速运动时，会对周围的时空产生扰动，并以波的形式向外传播，这就是引力波。他还发现，实际上应该存在纵向—纵向、横向—纵向和横向—横向三种类型的引力波。然而，1922年，爱丁顿（A. Eddington）发现，爱因斯坦的前两种类型是他所用坐标系的伪影，那就可以通过选择适当的坐标使其以任何速度传播。而第三种类型的引力波，经爱丁顿证明，总是以光速传播，且与坐标系无关，但由于前两种引力波的超光速传播，它的正确性也不免遭受质疑。这些结果显然也影响到了爱因斯坦。1936年，在爱因斯坦和罗森（N. Rosen）投给《物理评论》的一篇学术论文中，他们声称，尽管在初级近似下引力波的存在曾被认为是确定无疑的，但他们不可能存在于完整的广义相对论中，因为任何这样的场方程解都会有奇点。幸运的是，负责审阅该篇稿件的普林斯顿大学罗伯逊（H. P. Robertson）教授在匿名评审报告中指出，手稿所讨论的奇点只是无害的坐标奇点。然而，没有经历过匿名评审的爱因斯坦愤而撤回了手稿，此后再也没有向《物理评论》投过稿。不久，他的新助手英费尔德（L. Infeld）在与罗伯逊的交谈中了解到爱因斯坦所犯的错误。在他和罗伯逊的努力下，爱因斯坦最终意识到自己的问题，并把文章改写后发表在《富兰克林研究所学报》。此后的20年中，物理学家们就在这种坐标系混乱中徒费精力，直到1956年的一天，年轻的皮拉尼（F. Pirani）用更简明的黎曼曲率张量重新表述了引力波，因选用各种不同坐标系所造成的混乱才由此烟消云散。
引力波的理论研究就在这样的争议中茁壮成长。终于有一天，人们开始将目光投向了对引力波的实验探测。1960年代，马里兰大学的韦伯（J. Weber）首次提出了一种探测引力波的方法。他自行研制了一个大型铝棒探测器——韦伯棒。他设想，当有引力波穿过时，韦伯棒会在不同方向上被拉伸或压缩，从而产生一个脉冲信号。当引力波的频率与棒的特征频率相符时，就能产生可被观测的脉冲信号。1969年，他宣称发现了引力波。遗憾的是，其他团队并没有重复出他的实验结果，因此，他的探测结果未能得到公认。
虽然韦伯的实验结果是“错误的宣言”，但他对引力波实验探测有着非常大的影响。大概就在韦伯“错误的宣言”前后，韦斯（R. Weiss）教授开始在麻省理工学院负责讲授广义相对论。受韦伯的影响，学生们对实验方面的内容很感兴趣，要韦斯为他们讲解引力波方面的内容。对于以何种方式才能够最简单地向学生展示引力波的影响这一问题，韦斯开始了深入的思考。他因此仔细研读了爱因斯坦等人的原始论文，从中他得到了一个有趣的实验启示。韦斯以思想实验的形式提出了一个创意：利用在物体之间来回运动的光束来测量引力波，这是因为光束的测量可以做到测量细微的形变。那个思想实验吸引了很多学生，并且有几名学生开始跟随韦斯进行研究。后来他们在“夹板宫殿”中利用军方资金制造一个臂长为1.5米的原型探测器。（“夹板宫殿”是“二战”期间在麻省理工学院里搭建的临时建筑，编号20号楼。值得一提的是，至少有9位科学家因为在这栋建筑中的研究而获得诺贝尔奖，这也使得“夹板宫殿”成为一个传奇。）遗憾的是，由于“越战”爆发，科研经费突然中断，项目被迫中止。1973年，韦斯申请继续该项研究工作，但遭到美国国家科学基金会的拒绝，资金的缺乏使得他无奈从事其他的宇宙学实验。次年，德国的团队也启动了探测器项目的研究，并且制造出了3米的原型探测器。并且，其他科研人员也开始利用这一创意进行研究。得知创意散播出去的韦斯，还面临着缺乏大型探测器建设资金的困境。同年，首个双脉冲星的发现间接证实了引力波的存在。而就在那个时候，韦斯结识了已经是加州理工学院教授的索恩（K. S. Thorne），从此境遇发生了重大变化。
1975年的一个夏夜，韦斯与索恩在一次会议上相见并彻夜交谈。从此之后，麻省理工学院和加州理工学院正式联手，开启了引力波探測研究的新征程。在韦斯的建议下，索恩邀请富有创造力的德雷弗（R. Drever）加入。由此，加州理工学院和麻省理工学院开展了大规模的合作。1983年，加州理工学院制造出了40米的原型机，那是当时世界上最大的引力波探测器。但韦斯深知，这样的探测器的规模尺度是远远不够的。1983年10月，向美国国家科学基金会提交了被称为“蓝皮书”的研究报告后，索恩、韦斯和德雷弗三人还做了一些现场报告以获取该项目的资金支持。后来，这个项目被称为“LIGO”项目。1990年，LIGO团队开始计划在美国建造两台长度为4000米的探测器，并最终得到了美国国家科学基金会资金支持。后来的几年中，LIGO团队还经历了核心人员的更替，其中亦涉及LIGO早期三位发起人之一的德雷弗。当然，LIGO团队的发展过程非常复杂，在此不再赘述。直到2015年，历经百年的艰难探索后，人类才终于直接探测到了引力波。
如今，国际上掀起了引力波探测的热潮。世界各国开始建造新一代的探测器，如我国的太极、天琴和阿里计划，欧洲的LISA（Laser Interferometer Space Antenna）、爱因斯坦望远镜（Einstein Telescope），美国的宇宙探测者（Cosmic Explorer）和日本的KAGRA（Kamioka Gravitational Wave Detector） 。
引力波是时空曲率的扰动。例如前面提及的双黑洞合并就会对时空产生扰动，并且以波的形式以光速从源头向外传播。双黑洞合并产生的引力波在探测器上体现为一种被称为“啾（chirps）”的简单信号。“chirp”的本意为鸟叫声，在光学中用来表示光波频率随时间升高或降低的信号，中文译为“啁啾”。物理学家们将致密双星合并过程所发射的引力波类比为尖锐的鸟叫，故使用了“chirp” 一词。当两个黑洞由远及近相互绕转的过程中，它们会发出一段频率和振幅越来越大的信号。而在合并的最后阶段——铃宕阶段，双黑洞所发射的引力波的频率会快速地升高。双黑洞并合最终形成的黑洞则会发出一段“音调”恒定、振幅衰减的信号。因此，探测引力波信号能让我们“聆听”到宇宙的“声音”。
让我们再来看看引力波探测的基本原理。在这之前，有必要介绍一下引力波的极化。1918年，爱因斯坦修正四极矩推导之后得出引力波有两个独立的自由度，也就是两个极化方向。虽然引力波与电磁波有一些类似的性质（例如，它们都是横波，即振动方向与波的传播方向垂直），但本质上是不相同的。电磁波极化由电场的方向描述，而引力波的极化模则是通过测地线偏离方程来定义。[测地线是几何学中的概念，它通常是一条曲线，在某种意义上表示曲面上两点之间最短的路径（弧），或更普遍地表示黎曼流形。]
具体来说，对于一列沿z轴正方向向外传播的引力波，它的两个极化面则是在垂直于z轴的平面xOy上。其中的“+”模在π相位时，粒子环的形状变成以y轴为长轴、x轴为短轴的椭圆；
在3π/2相位时，再变为圆形；
在2π相位时，变成以x轴为长轴，y轴为短轴的椭圆；
接着又回到圆形。“×”模引起的形变与“+”模引起的形变类似，前者与后者旋转45°后是一样的。正是基于引力波极化这样的性质，物理学家们才想出了用激光干涉的思想来探测引力波。设想一个L型两臂等长的探测器，两臂分别沿着x轴和y轴（称为“x臂”和“y臂”），内部通行着相干光。无引力波时，因两臂等长，相干光在探测屏上恰好干涉相消，此时观察不到干涉条纹；
但若“+”模引力波一旦到达，引力波的极化特性会引起x臂和y臂不相等的改变，导致通过两臂的相干光到达探测屏时有一时间差，两束光相位不再恰好满足相消条件，此时干涉条纹得以显现。对亮斑的测量可以获悉引力波的具体信息，这就是利用引力波的极化性质探测引力波的基本原理。
20世纪，引力波的实验探测研究如火如荼，对于引力波波源的研究也紧随其后。其实早在广义相对论诞生之前的1905年，法国数学物理学家庞加莱（H. Poincaré）就根据引力与电磁作用类比提出，与产生电磁波的加速电荷类似，相对论引力场中的加速质量应能产生引力波。然而，广义相对论告诉我们，由于引力不像电磁理论有“正负”电荷概念，所以，庞加莱所设想的引力场中的加速质量并不能作为引力波的波源。爱因斯坦发表于1916年的文章告诉我们，只有四极矩才能產生引力波。换言之，引力波产生于物体的加速运动及其加速度的变化，且此运动不可为球对称运动（如球形物体的扩张或收缩）或对称旋转运动（如球体绕球心的旋转）。因此，双星系统的绕转、引力坍塌引起的超新星爆发、非球对称天体的自转都能产生引力波。然而，要产生足以有观测效应的引力波，产生引力波的天体系统需要在短时间内释放足够大的能量。一个天然的候选者就是黑洞双星系统。早在1972年，索恩就对黑洞产生引力波的理论进行过深入的思考。从概念上看，双黑洞绕转时，它们将剧烈地扰动周围的时空，于是，时空形态将出现逐渐增强的波动，而黑洞运动的信息向外以光速传播。因此，索恩在文章中强调引力波必会为我们探测宇宙打开一扇新的窗口。
他的预言终于在本世纪得以实现。不仅如此，现实的世界可能比他当初的设想要丰富得多。从现有的引力波事件中，我们知道，除了有双黑洞并合，还存在双中子星并合、黑洞和中子星并合、双白矮星并合等引力波源的存在。2015年观测到的第一次引力观测事件（GW150914）的引力波源是两个质量分别为36倍和29倍太阳质量的黑洞。2017年观测到的GW170817事件的引力波信号来源则是双中子星，这也是第一个探测到有电磁对应体存在的引力波事件，同时这也极大地丰富了探索宇宙物理的方法。2019年4月，LIGO探测到了GW190425事件，这个引力波信号也被归因于双中子星并合。但是该事件的波源引发了非常大的争论，因为观测数据表明这对中子星的总质量大约是太阳的3.4倍，它比已知的最大双中子星还多出0.5个太阳质量。而在2020年4月，发表在《天体物理学杂志通讯》上的一项新研究发现，J2322+0509系统是两个氦核白矮星相互绕转的系统，并且可能正在产生引力波。如果最终确定，那这将是迄今为止发现的第一个双氦核白矮星引力波源，可以作为未来LISA探测的对象。除了以上种种双星系统，理论上引力波可能的来源还包括恒星塌缩、宇宙暴涨、宇宙弦等，此处不再赘述。
历经百年的洗礼，广义相对论无疑是物理史上的一座丰碑。在经历一次又一次的考验后，依然闪烁着耀眼的光芒。然而，在光芒之下仍然有一处角落阴云密布。在经过了一个世纪的努力之后，广义相对论仍然面临着一个巨大的理论挑战：它似乎无法与20世纪的另一项伟大发现——量子理论相融合。因此，建立一个超越广义相对论的完备的量子引力理论一直是理论物理学家的追求。此外，暗物质、暗能量的发现也让修改引力模型得以通过观测进行验证。实际上，早在1922年，英国数学家、哲学家怀特海德（A. N. Whitehead）就提出了现在我们所称的怀特海德引力理论。就在同一年，法国数学家嘉当（é. J. Cartan）提出了著名的爱因斯坦—嘉当理论。此后的数十年里，修改引力模型像雨后春笋般被提了出来。截止目前，已有上百种修改引力模型。总体而言，它们可以粗略分为以下几类：高阶导数理论[如f（R）引力、Lovelock 引力]、有质量引力、额外场模型（标量—张量引力、矢量—张量引力等）、放弃基本假设模型（如额外维理论、非协变理论、非局域理论、非度规理论等）。
修改引力的分支相当繁杂。因此，如何检验这些模型的正确性就成了一个极其重要的课题。在近一个世纪的探索中，物理学家和天文学家发展出了一系列工具来对这些模型的正确性进行检验，从理论自洽性和完备性方面的理论检验，到等效原理、轨道进动、后牛顿近似等方面的弱场检验，再到引力透镜、宇宙微波背景辐射、宇宙加速膨胀等方面的宇宙学大尺度检验。引力波的发现为它们的检验再添一个利器。利用引力波，可以通过波形匹配、速度测定、极化模观测等诸多方面对修改引力模型进行检验。以致密双星系统为例，通过运用后牛顿近似、数值相对论和似正规模等方面的计算，可以得到各种引力理论下双星系统从旋进、并合，到铃宕各个阶段的引力波波形图，建立引力波模版库。随着观测精度的提高，未来可以通过匹配引力波模版来甄别和检验相应的修改引力模型。
另一个非常重要的检验方法则来自于引力波的极化。理论研究表明，不同的引力理论中引力波的极化模不尽相同。广义相对论中，引力波的极化有两个张量模，而修改引力理论中还可能包含其他的极化模，如横向标量模（也称呼吸模）、纵向标量模和两个矢量模。假设引力波沿z轴方向传播，那么有：①呼吸模，其极化面也是在垂直于z轴的平面xOy上。当引力波沿z轴方向传播，该极化模使得圆形的测试粒子环在平面xOy上缩小或放大（即横向的形变）。②纵向标量模，其极化面是在垂直于x轴的平面yOz上。当引力波沿z轴方向传播，该极化模使得圆形的测试粒子环产生沿z轴方向（即纵向）的形变。③矢量模1，其极化面是在垂直于y轴的平面xOz上。在π相位时，粒子环的形状变成以平面xOz上的逆时针45°轴为长轴的椭圆；
相位为3π/2时，再变为圆形；
零相位时，粒子环的形状变成以平面xOz上的顺时针45°轴为长轴的椭圆；
最后再回到圆形。④矢量模2，波动模式与矢量模1类似，但是它的极化面是在垂直于x轴的平面yOz上。矢量模1、2都使得粒子环产生横向和纵向的形变。
尽管目前LIGO的观测数据还没有显示“×”模和“+”模之外的极化模存在的迹象，但修改引力理论的极化仍然引起了众多物理学家们的兴趣。理论上，通过LIGO两台探测器及与其他的地面探測器的联合观测，可以探测到其他极化模（如呼吸模）。有学者曾指出，三臂的激光干涉仪有可能明显增强引力波极化模的探测，这有待未来LISA、天琴和太极等空间探测器的建成投用。值得注意的是，脉冲星计时阵列（pulsar timing array， PTA）也可能对“×”模和“+”模之外的极化模做很好的探测，并且PTA可以区分引力波的呼吸模和纵向模。北美纳赫兹引力波天文台（North American Nanohertz Observatory for Gravitational Waves， NANOGrav）从过去12.5年的探测数据得到了比较强的横向标量模存在的贝叶斯证据。这将有助于检验修改引力理论，并对广义相对论做进一步的检验。此外，地基、天基探测器以及PTA能相互补充，对不同频段引力波的探测将为引力本质及相关物理的研究提供了全新的手段。
守得云开见明月，相信在不久的将来，随着探测技术的革新升级，引力波——这个人类在探索宇宙的征途中孕育出来的崭新智慧结晶——必将为人类理解时空的本质、宇宙的起源及其演化提供更多更可靠的信息。
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关键词：引力波 引力波源 极化模式 激光干涉仪 ■
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