关于椭圆曲线y2=x(x+11)(x+19)的整数点*①
曹春芳
(泰州学院 数理学院，江苏 泰州 225300)
椭圆曲线的一个基本类型是
y2=x(x+ηp)(x+ηq),η∈{-1,1},
(1)
其中p,q为奇素数.
2011年，陈候炎[1]证明了：(η,p,q)=(-1,5,7)时，椭圆曲线(1)仅有整数点(x,y)=(0,0),(5,0)和(7,0)；
(η,p,q)=(1,5,7)时，椭圆曲线(1)仅有整数点(x,y)=(0,0)，(-5,0)和(-7,0).
2012年，陈候炎[2]证明了：(η,p,q)=(-1,3,5)时，椭圆曲线(1)仅有整数点(x,y)=(0,0),(3,0)和(5,0)；
(η,p,q)=(1,3,5)时，椭圆曲线(1)仅有整数点(x,y)=(0,0)，(-3,0)，(-5,0)，(-4,±2)，(3,±12)，(5，±20)和(240，±3780).
2016年，管训贵[3]证明了：(η,p,q)=(-1,3,19)时，椭圆曲线(1)仅有整数点(x，y)=(0,0)，(3,0)，(19,0)，(1,±6)，(27,±72)和(57,±342).
2018年，管训贵[4，5，6]分别证明了：(η,p,q)=(-1,7,23)时，椭圆曲线(1)仅有整数点(x,y)=(0,0),(7,0),(23,0),(25,±30)和(207,±2760)；
(η,p,q)=(-1,31,47)时，椭圆曲线(1)仅有整数点(x,y)=(0,0)，(31,0)，(47,0)，(49,±42)和(423,±7896)；
(η,p,q)=(-1,71,103)时，椭圆曲线(1)仅有整数点(x,y)=(0,0)，(71,0)，(103,0)和(121,±330)；
(η,p,q)=(-1,11,139)时，椭圆曲线(1)仅有整数点(x,y)=(0,0)，(11,0)，(139,0)和(13761,±1605450).
本文运用初等方法，证明了如下结果.
定理1椭圆曲线
y2=x(x+11)(x+19)
(2)
仅有整数点(x,y)=(0,0),(-11,0)和(-19,0).
引理1设p,q为不同的奇素数，若p≡3(mod 4)，q≡3(mod 4)，则不定方程x4-pqy2=1没有正整数解(x,y).
证明参见文献[7].
引理2设整数a>1，则不定方程
ax2-Dy4=1
(3)
证明参见文献[8].
引理3不定方程
x2-836y4=1
(4)
没有正整数解(x,y).
证明设(x,y)是方程(4)的一正整数解.由2?x知，(x-1,x+1)=2，故有
x+1=418r4,x-1=2s4,
(5)
或
x+1=2s4,x-1=418r4,
(6)
或
x+1=38r4,x-1=22s4,
(7)
或
x+1=22s4，x-1=38r4,
(8)
这里s,r都是正整数，(s,r)=1，y=rs.
若式(5)成立，则得
s4-11×19r4=-1.
(9)
若式(6)成立，则得
s4-11×19r4=1.
(10)
由于11≡3(mod 4)，19≡3(mod 4)，故由引理1知式(10)不成立.
若式(7)成立，则得
11s4-19r4=-1.
(11)
若式(8)成立，则得
11s4-19r4=1.
(12)
因为
vn=35xn+506yn.
(13)
并且有序列
xn+2=93102xn+1-xn,x0=1,x1=46551；
yn+2=93102yn+1-yn,y0=0,y1=3220.
(14)
利用(14)对式(13)取模8得v35≡5(mod 8)，即v35不是完全平方数.因此，方程(12)没有正整数解.证完.
引理4不定方程x2+y2=z2满足条件(x,y)=1，2∣x的全部正整数解可表为
x=2ab,y=a2-b2,z=a2+b2，
其中a>b>0，(a,b)=1，2?(a+b).
证明参见文[9，p110～111，定理3.4].
引理5不定方程x2+2y2=z2满足条件(x,y)=1的全部正整数解可表为
x=|a2-2b2|,y=2ab,z=a2+2b2,
其中a>0,b>0，gcd(a,b)=1，2?a.
证明参见文[9，p117，习题3.3的第4题].
证明首先,当y=0时，(2)仅有整数点(x,y)=(0,0)，(-11,0)，(-19,0).其次，设(x,y)是(2)的一组适合y≠0的整数点.因y2>0，故由式(2)得-19
(15)
设a,b,c为正整数且两两互素.根据式(15)，我们只需讨论8种情形.
情形1(d1,d2,d3)=(1,1,1).
此时，由式(2)得
x=a2,x+11=b2,x+19=c2，y=±abc.
(16)
将(16)的第一式代入第二式得(b+a)(b-a)=11，所以b+a=11且b-a=1，解得a=5，于是x=25，代入式(2)得y2=11×602，显然不可能.
情形2(d1,d2,d3)=(1,1,2s)(1≤s≤3).
此时，由式(2)得
x=a2，x+11=2sb2，x+19=2sc2，y=±2sabc.
(17)
将(17)的第一式代入第二式得2sb2-a2=11.若2|s，则可解出a=5，于是x=25，这不可能.因此2?s.将(17)的第二式代入第三式得
c2-b2=23-s.
(18)
因为3-s≥0，所以s=1,3，此时式(18)成为c2-b2=1或c2-b2=4，均不可能.
情形3(d1,d2,d3)=(1,19,1).
此时，由式(2)得
x=19a2,x+11=b2,x+19=19c2,y=±19abc.
(19)
将(19)的第一式代入第三式得c2-a2=1，不可能.
情形4(d1,d2,d3)=(1,19,2s)(1≤s≤3).
此时，由式(2)得
x=19a2,x+11=2sb2,x+19=2s·19c2,y=±2s·19abc.
因此有
b2-19c2=-23-s,a2-2sc2=-1.
(20)
若s=2，则由(20)的第二式得a=0，不可能.
若s=3，则式(20)成为
b2-19c2=-1，a2-8c2=-1.
(21)
情形5(d1,d2,d3)=(11,1,1).
此时，由式(2)得
x=11a2,x+11=11b2,x+19=c2,y=±11abc.
(22)
将(22)的第一式代入第二式得b2-a2=1，不可能.
情形6(d1,d2,d3)=(11,1,2s)(1≤s≤3).
此时，由式(2)得
x=11a2，x+11=11·2sb2，x+19=2sc2，y=±2s11abc.
因此有
c2-11b2=23-s，a2-2sb2=-1.
(23)
由(23)的第二式知s≠2，否则推出a=0，与假设矛盾，故s=1,3.
当s=3时， 式(23)成为
c2-11b2=1，a2-8b2=-1.
(24)
对(24)的第二式取模8知a2≡7(mod 8)，不可能.因此s=1.此时式(24)成为
c2-11b2=4，a2-2b2=-1.
(25)
由(25)的第一式及(b,c)=1知b,c同奇.对(25)的第一式取模8可得-2≡4(mod 8)，矛盾.
情形7(d1,d2,d3)=(11,19,1).
此时，由式(2)得
x=209a2，x+11=11b2，x+19=19c2，y=±209abc.
(26)
将(26)的第一式分别代入第二式和第三式得
b2-19a2=1，c2-11a2=1.
(27)
由于(b,c)=1,因此b,c不能均为偶数，再由(27)的两式知，a为偶数，b,c均为奇数.
令a=2a1(a1>0)，则将(27)的两式相减后整理得
(28)
注意到(b+c,b-c)=2，则式(28)可化为
b+c=16u2，b-c=2v2， 或b+c=2v2，b-c=16u2，
(29)
其中a1=uv,u>0,v>0,(u,v)=1.
由(29)解得b=v2+8u2，c=v2-8u2.将c=v2-8u2，a=2a1=2uv代入(27)的第二式并整理得
(v2-30u2)2-836u4=1.
(30)
根据引理3，(30)没有正整数解(u,v)，所以在该情形时椭圆曲线(2)没有整数点.
情形8(d1,d2,d3)=(11,19,2s)(1≤s≤3).
此时，由式(2)得
x=209a2,x+11=2s·11b2，x+19=2s·19c2，y=±2s·209abc.
因此有
19a2+1=2sb2, 11a2+1=2sc2.
(31)
由(31)知，2?a.将(31)中两式相减得
b2-c2=23-sa2.
(32)
若s=3，则式(32)成为
a2+c2=b2.
(33)
因2?a，故根据引理4， 式(33)给出
a=u2-v2，c=2uv，b=u2+v2，
(34)
这里u>v>0，(u,v)=1，2?(u+v).
将(34)的第一式和第二式代入(31)的第二式得
11(u2-v2)2+1=32u2v2,
(35)
对式(35)取模8知11(u2-v2)2≡-1(mod 8)，即(3u2-3v2)2≡5(mod 8)，不可能.
若s=1，则式(32)成为
c2+(2a)2=b2.
(36)
根据引理4，式(36)给出
c=u2-v2,a=uv,b=u2+v2,
(37)
这里u>v>0，(u,v)=1，2?(u+v).但2?a，推出2?uv，从而2|(u+v)，与前述矛盾.
若s=2，则 (32)成为
c2+2a2=b2.
(38)
根据引理5，式(38)给出
c=|u2-2v2|，a=2uv，b=u2+2v2，
这里u>v>0，(u,v)=1，2?u.由此知2|a，与2?a矛盾.
综上，椭圆曲线(2)仅有整数点(x,y)=(0,0)，(-11,0)和(-19,0).定理得证.
猜你喜欢正整数整数情形关于包含Euler函数φ(n)的一个方程的正整数解黑龙江大学自然科学学报(2022年1期)2022-03-29有限二阶矩情形与重尾情形下的Hurst参数数学物理学报(2020年4期)2020-09-07避免房地产继承纠纷的十二种情形公民与法治(2020年12期)2020-07-25四种情形拖欠劳动报酬构成“拒不支付”犯罪公民与法治(2020年4期)2020-05-30被k(2≤k≤16)整除的正整数的特征中等数学(2019年8期)2019-11-25周期数列中的常见结论及应用*中学数学研究(广东)(2018年13期)2018-08-11方程xy=yx+1的全部正整数解中等数学(2018年12期)2018-02-16一类整数递推数列的周期性中等数学(2018年12期)2018-02-16出借车辆，五种情形下须担责公民与法治(2016年9期)2016-05-17答案小朋友·快乐手工(2009年5期)2009-06-11