应用联想发展学生数学思维的探索
唐再清
?重庆市酉阳第一中学校
高中数学内容多，难度高，若学习时不关注知识点间的联系，不仅会增加学生的学业负担，而且解题能力也会大大降低.数学各模块、各分支紧密联系，相互依存，若学习时不关注联系就很难建立起一个完整的知识体系，那么学生在知识迁移时将会遇到较大的障碍，这将直接影响解题的准确率和效率.对于知识体系的建构，笔者认为除了夯实基础外还应会联想.如学生在学习新知时，通过联想相关的旧知，将新知向熟悉的知识转化，这样可以降低学生对新知产生的畏难情绪，这样通过联想不仅复习了旧知，对新知的内化也有着积极的意义.又如，在解题时，通过对典型题的联想有利于学生找到解题的方向，使解题过程更具目标性，大大提升解题效率.另外，通过联想可以充分发挥个体思维差异的优势，将多角度观察和多方位思考的成果转化为学生的创新思维，进而提升学生的创新能力.为了发挥联想的优势，笔者结合教学实践谈几点自己的认识，以期帮助学生启动联想，实现知识的转化和能力的提升.
温故知新既是一种学习方法也是一种学习习惯，通过温习与新知相关联的旧知，为新知的学习扫清障碍，进而为新知的探究奠定基础.借助新旧知识的对比，使学生更关注二者的区别和联系，有利于培养思维的深刻性.同时，从学生熟悉的旧知入手，更容易启发学生的思维，使学生迅速进入学习状态，有利于课堂效率的提升.
案例1二次函数与一元二次方程.
师：下列题目你们会解吗？(教师PPT展示题目)
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，顶点纵坐标为2，方程f(x)=0的两个根分别为1和3.
(1)写出不等式ax2+bx+c>0的解集；
(2)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，你能求出实数k的取值范围吗？
为了帮助学生理解二次函数与一元二次方程的关系，教师设计了这样两小问让学生进行对比，促使学生通过对旧知的巩固来实现新知的迁移.教师让学生以合作探究的方式解决问题，是为了通过合作实现优势互补，完成知识的系统建构.
生1：由方程f(x)=0的两个根分别为1和3，得抛物线的顶点坐标为(2,2)，求得抛物线的解析式f(x)=-2(x-2)2+2.利用已知条件画出函数f(x)的图象，根据图象可知不等式的解集为{x|1 师：很好，通过联想和迁移将求不等式ax2+bx+c>0的解集问题转化成了函数问题.你能详细说明一下是如何观察的吗？(教师发现有些学生存在疑惑，放慢速度，给学生一定的思考空间，引导学生通过联想将问题串联.) 生1：对于二次函数y=ax2+bx+c，令y>0，可得到不等式ax2+bx+c>0，不等式ax2+bx+c>0的解即为函数在x轴上方图象上点的横坐标. 师：说得很好！发现了函数与不等式的关系，那么方程ax2+bx+c=k与函数图象又有什么关联呢？ 通过争辩和联想，学生惊奇地发现第(2)问可以转化为已知二次函数y=ax2+bx+c图象与直线y=k有两个交点，求实数k的取值范围.结合函数f(x)的图象，容易得出当k<2时，直线y=k与抛物线f(x)=-2(x-2)2+2有两个交点，即当k<2时，方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根. 通过师生的共同努力，将方程、不等式与二次函数联系起来，借助数形结合降低了解题难度.同时，通过这样的对比学习，学生更关注三者之间的联系，这对知识的巩固及知识体系的建构都有很大的帮助. 数与形有效结合更能凸显问题的本质，有利于学生更好地认清已知，并结合图形中反馈的信息找到解题的灵感，进而找到解题的切入点，成功解决问题[1]. 案例2求|x-1|+|x-2|+|x-3|(x∈R)的最小值. 这道题看上去条件简单，数值较小，感觉容易求解，然真正去做就感觉无从下手.案例2为一道抽象的代数问题，若想轻松求解需要进行数形联想，通过几何建模实现问题的转化，进而找到解题的思路. 解析：本题求解时可以联想数轴，将问题转化为在数轴上找一个数x对应的点使得它到数1，2，3所对应的点的距离和最小.通过观察数轴，很容易得出当x=2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|取最小值，且最小值为2. 为了让学生更好地理解该知识点，并能总结归纳出问题的一般规律，教师可以带领学生继续分析并求解|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值，及|x-a1|+|x-a2|+|x-a3|+……+|x-an|的最小值.通过数形结合，不断联想、升华，学生不仅领悟了解决此类问题的精髓，而且总结归纳出了一般规律，提升了学生的思维品质. 图形并非解决几何问题的专利，其在处理代数问题中也至关重要，尤其在解决函数问题时其作用更为突出，将已知条件用图形方式表达不仅可以提供解题思路，还可以减少大量的复杂计算，这对提升解题效率、降低运算错误都有积极的意义.因此，在教学中，教师要引导学生应用数形结合的方法去思考和探究问题，进而提升数学素养. 数学是一门严谨的学科，直觉联想为解题提供方向.若解题单凭直觉显然存在一定主观性，不具备足够的说服力，因此，合理的推理就尤为重要了，只有二者有机结合才能达到事半功倍的效果[2]. 案例3证明：函数f(x)=x6-x3+x2-x+1(x∈R)的值恒为正数. 解析：显然本题求解时可以通过对x的不同取值逐一证明，进而推理得出最终的结论.通过观察不难发现，当x<0时，x6，-x3等各项的值均为正数，即f(x)>0； 本题的推理过程实为从特殊到一般的验证，例如，本题将x∈R分为x<0，0≤x≤1，x>1三类特殊情况，通过对特殊情况的分析推理归纳出了结论.当解题遇到难以求解的问题时，往往可以通过分类讨论化难为简，进而通过推理分析得到最终的结果.另外，在解填空或者选择题时，通过联想和类比，应用归纳推理有时会收获意外惊喜. 学生在面对动态问题时往往无从下手，动态问题是公认的难点问题.对于此类问题的求解要善于动静结合，从“动”中发现“静”，进而通过对“静”的分析与转化解决“动”的问题，进而消除学生的畏难情绪，帮助学生找到解决问题的切入点和突破口，从而顺利解决问题. 案例4已知函数f(x)=x2+mx-1对于区间[m,m+1]上的任意x，f(x)<0均成立，试求实数m的取值范围. 案例4中借助“动静结合”，厘清了知识点间的关系，挖掘出了问题的本质，为问题的解决找到了恰当的切入点，使问题迎刃而解.动静结合是一种典型的解题方法，其在高中数学，尤其在解决动态问题时有着广泛的应用，在教学中应注意引导和渗透，进而通过动静转化提升学生的思维品质，促进解题能力提升. 总之，“联想”表面上看是一种直觉思维能力，然其却有着强大逻辑思维能力的支撑，它是重要的思维方法.高中数学教学中应重视学生联想能力的培养，只有这样，学生在面对复杂的问题时，才能借助合理的联想全方位地思考问题，进而提升解题能力和思维能力.
当0≤x≤1时，x6-x3≤0，x2-x≤0，难以求解，故将f(x)=x6-x3+x2-x+1进行变形，即f(x)=x6+x2(1-x)+(1-x)，因为1-x≥0，故f(x)>0；
当x>1时，同样直接观察不能判定值的正负，将f(x)=x6-x3+x2-x+1变形得f(x)=x3(x3-1)+x(x-1)+1，变形后可知各项均大于0，故f(x)>0.综上可知，函数f(x)=x6-x3+x2-x+1的值恒为正数.
