灰狼优化算法在城市需水预测模型中的应用
陈永政
（重庆财经职业学院 应用技术学院，重庆 402160）
城市需水预测是城市水资源规划、管理、决策的重要依据。随着人口与经济活动的增加、生活水平的提高、城市化以及气候变化带来的不确定性，世界各地的水资源短缺问题日益突出［1］。水资源和供水系统的优化规划变得越来越重要，需水量预测是供水优化调度的依据，同时为确定新水资源开发时间提供参考。需水量的科学预测有利于水资源优化配置，预测的准确性对供水系统安全经济运行起着重要作用［2］。城市需水量预测是供水系统有效运行的关键环节。回归模型法、时间序列法等传统方法在供水量预测方面要求建立预测量与影响因素之间准确的机理模型、大量线性化处理降低模型精度，具有较大的不确定性和模糊性，普适性较差，而基于经验风险最小化的神经网络为需水预测提供了新思路［3］。郭强等［4］采用贝叶斯BP神经网络对校园日用水量波动范围进行了有效预测。Zubaidi等［5］提出了结合粒子群与人工神经网络的新方法，通过评估气候因素进行需水量预测。然而，城市需水量预测模型中影响因子多且普遍存在多重共线问题，BP神经网络在求解模型时易陷入局部极值［6］。
为提升需水预测的准确性，笔者把基于结构风险最小化的最小二乘支持向量机（LSSVM）［7］作为需水量预测的拟合模型。灰狼优化算法（GWO）具有易理解、控制参数少、不要求目标函数和优化条件可微等特点而得到广泛应用［8－9］。针对GWO寻优过程易陷入局部最优的问题，采用一般性反向学习与非线性控制参数对其进行改进，以提升其全局优化性能，改进后的算法记为IGWO。IGWO算法更适合非线性模型参数的拟合，而LSSVM模型的超参数确认过程也是复杂的非线性拟合问题，因此将其引入LSSVM需水预测模型，用来拟合模型的超参数，构建IGWO－LSSVM城市需水预测模型。以上海市为例，采用近35 a城市供水数据建立IGWO－LSSVM需水预测模型，验证灰狼优化算法在城市需水预测模型中的有效性，以期为城市水资源综合管理规划提供参考。
最小二乘支持向量机（LSSVM）是支持向量机（SVM）的一种改进，它将复杂、高维的非线性问题映射到特征线性空间，并将优化问题转化为对偶凸二次规划，用于解决高维、非线性、小样本的问题，因具有良好的泛化能力而得到广泛应用［10］。设训练数据集为{xi，yi}，其中：i＝1，2，…，l；
xi∈Rn；
yi∈R（R为实数集，n为维数）。利用非线性映射φ（·）将样本从原空间Rn映射到特征空间。在高维空间构造回归函数［11］：
式中：ω为可调权向量；
φ（x）为非线性映射函数；
b为偏置参数。
根据结构风险最小化准则，可得最优ω与b：
式中：‖ω‖2为控制模型的复杂度；
为误差控制函数；
C为正则化参数，用于平衡训练误差与模型适应度；
ξi为拟合随机误差。
引入Lagrange乘子α，构造拉格朗日函数，得到无约束优化问题：
根据Karush－Kuhn－Tucker条件，分别求解L对ω、b、ξ和αi的偏微分，并消除ω和ξ，以矩阵形式表示为
式 中：e＝［1，1…，1］T；
y＝［y1，…，yl］；
α＝［α1，…，αl］Τ；
Ω为对称矩阵，矩阵中的元素Ωij＝φ（xi）φ（xj）＝K（xi，xj），其中j＝1，2，…，l；
K（xi，xj）为核函数，为解决原空间中样本非线性拟合问题，采用径向基函数。
求解优化问题后，得到回归模型的线性表达式：
2.1 灰狼优化算法（GWO）
GWO算法是Mirjalili等［11］受灰狼群体中的捕食行为和社会等级启发而提出的群智能优化算法。灰狼种群社会等级如图1所示，其中：θ狼的位置代表最优位置，对应求解问题的最优解；
β、δ狼的任务是协助θ狼对狼群进行管理及参与捕猎过程中的决策，其位置代表第2优、第3优位置，对应求解问题的2个次优解；
ε狼代表其他普通灰狼，其位置对应解空间中的剩余候选解。GWO算法通过模拟灰狼包围、追捕、攻击等捕食行为逐步更新自身位置，从而实现全局优化。
图1 灰狼种群等级制度
假设种群规模为N的灰狼群为{xi｜i＝1，2，…，N}，解空间为D维，GWO算法数学模型［12］表达式为
式中：B为灰狼与猎物间的距离；
xi（t）、xi（t＋1）分别为t和t＋1时刻第i灰狼的位置；
xp（t）为猎物的位置（当前最优解）；
C为系数，表示围捕猎物过程中所受自然界的阻碍作用，C＞1或C＜1表示加大或减小猎物距离；
A为收敛因子，控制灰狼个体趋向或者远离当前猎物。
A、C计算公式为
式中：r1、r2为［0，1］内的随机数；
a为控制参数，从2线性递减至0；
T为迭代周期。
GWO算法中，灰狼种群中其他灰狼xo（t）在t＋1时刻的位置通过θ、β、δ狼t时刻的位置进行更新：
式中：xθ、xβ、xδ分别为θ、β、δ狼的当前位置；
x1（t＋ 1）、x2（t＋ 1）、x3（t＋ 1）分别为θ、β、δ狼在t＋1时刻的位置。
2.2 改进的灰狼优化算法（IGWO）
GWO算法的寻优过程是由3个较优解θ、β、δ狼主导，易造成算法早熟收敛并陷入局部最优。采用反向学习策略对候选解与其反向解所构造的解空间同时搜索，可提升算法的搜索能力，而非线性自适应控制参数可平衡灰狼优化算法的开发和探索能力、提高全局优化能力。改进的灰狼优化算法（IGWO）即将GWO算法引入一般性反向学习和非线性控制参数策略。
2.2.1 一般性反向学习策略
反向学习（OBL）［13］通过评估当前可行解与其反向解，保留较优秀解以便更好地逼近当前候选解，OBL的思想已经被许多研究者用来提高各种优化方法的收敛速度。在一维空间中，假设是粒子xj的反向解，则定义为
式中：xj∈［aj，bj］，aj、bj分别为变量的下限、上限。
Wang等［14］将通过当前搜索空间中的候选对象转换为新的搜索空间的对象，提出了一般性反向学习（GOBL）模型。设xi＝（xi，1，xi，2，…，xi，D）是D维空间中的一个个体，反向解为），则第j维方向点表达式为
其中
式中：k为U（0， 1）范围内的随机数；
daj、dbj分别为第j维搜索空间的最小值、最大值。
若越界，将采用下式进行重置：
倘若我们手持的是一卷“粼粼的微波下潜伏着汹涌暗浪”的忧患之作，则恐怕难得“潇洒”而要为之击节共鸣、扼腕长叹了。而此刻笔者案头所置的便是这样一册由著名剧作家、散文家柯灵先生所著的《墨磨人》！
假设f（xi）是一个适应度函数，用于表示候选解的适应度。当且仅当f（）优于f（xi）时，用取代xi。对候选解与其反向解所构造的解空间同时搜索，将大大提高最优解质量。
2.2.2 非线性控制参数策略
实现GWO算法全局探索和局部开发之间的平衡是保证算法全局搜索性能的关键。全局探索能力指探测更广泛搜索区域的能力，局部开发则强调利用已有信息对群体的某些区域进行精细搜索。在GWO算法中，收敛因子A调节全局探索和局部开发之间的平衡，而A的值随控制参数a的变化而改变，因此控制参数a在很大程度上决定着全局探索和局部开发之间的平衡度。式（10）中控制参数a由2线性递减至0，而求解复杂优化问题时，线性递减策略往往不利于实际搜索。因此，设计一种非线性控制参数策略，对之前的线性递减的控制参数进行动态调整：
式中：fi为个体i的适应度；
fmin、favg分别为当前种群中最小适应度和平均适应度。
当fi＞favg时，取得较大权值，从而增大个体的活跃度；
反之，取得较小权值，使狼群个体更多地被θ、β、δ狼吸引，从而向优势搜索空间靠拢。此外，当个体趋于收敛或一致时，即｜favg－fmin｜较小时，a随之增大；
当较分散时，即｜favg－fmin｜较大，a随之减小。因此，式（18）控制参数更新策略更有利于全局搜索与局部探测能力的平衡。
2.2.3 IGWO算法步骤
（1）初始化参数、群体规模和最大迭代次数。
（3）采用式（18）计算控制参数。
（4）采用式（8）～式（10）计算A、C。
（5）按式（11）、式（12）更新种群中个体位置。
（6）计算适应度值，更新θ、β、δ狼的位置。
（7）判断终止条件是否满足。若满足，则输出最优解；
否则转至步骤（3）继续迭代。
2.3 IGWO－LSSVM模型计算流程
采用RBF的LSSVM模型有正则化参数和核宽度两个超参数，需要在回归过程中进行优化，其中：正则化参数决定经验风险和置信范围的比例，核宽度决定样本数据映射到特征空间分布的复杂性且影响模型在特征空间中获得最优分类超平面的泛化性能。因此，本文采用IGWO算法优化模型超参数，以进一步提升LSSVM模型的需水预测泛化能力。主要步骤：①选取需水量试验数据并进行归一化处理，初始化IGWO和LSSVM模型参数；
②将RMSE作为优化过程的目标函数，以目标函数值最小为原则，采用IGWO模型优化LSSVM模型的两个参数；
③采用最优的超参数构建LSSVM模型，并对测试集数据进行预测验证。IGWOLSSVM模型计算流程见图2。
图2 IGWO－LSSVM模型计算流程
采用IGWO－LSSVM模型进行需水量预测。城市供水系统复杂，需水量具有非线性和随机波动性，其变化受气候、降水量、工业用水量、居民用水量等多种因素影响。本文提出一种基于最小二乘支持向量机的时间序列需水量预测方法，用于预测城市用水量变化的总体趋势。崔东文等［15］采用SPSS软件对用水序列进行自相关分析时，指出当滞后数为4时，预测模型具有较好的预测效果，因此本文选用前4 a的供水量作为输入变量，以当前年份的供水量作为输出变量。表1给出1985—2019年上海市自来水供水量数据，共35组。随机选择30组数据用作训练集，采用训练集数据对IGWO－LSSVM模型进行训练并建立需水预测模型，剩余5组数据用于测试模型的性能。
表1 上海市自来水逐年供水量 亿m3
为了验证IGWO－LSSVM模型的性能，采用剩余5组数据对训练后的模型进行测试，并与PSO－LSSVM模型、GWO－LSSVM模型的测试结果进行对比，见表2。总体而言，PSO－LSSVM、GWO－LSSVM、IGWOLSSVM三种模型均能对5组测试样本做出合理预测，前2种模型的平均相对误差（1.82%、1.86%）均较为接近，而IGWO－LSSVM模型平均相对误差为0.78%，比前2种模型平均相对误差更小、精度更高，表明改进后的IGWO具有更好的全局优化能力、能寻找出更优的模型超参数，可有效解决城市需水预测问题。
表2 模型预测效果
针对城市需水预测模型中需水量影响因子众多且非线性的问题，提出一种基于最小二乘支持向量机的非线性预测模型，以提升城市需水预测的准确性。模型的超参数决定着LSSVM模型的泛化性能，提出采用IGWO对其进行优化。通过引入一般性反向学习与非线性控制参数策略，以改善其全局优化性能，进而提高超参数优化选择能力。采用构建的IGWO－LSSVM模型对上海市需水量进行预测，结果显示该模型平均相对误差为0.78%，比PSO－LSSVM模型、GWO－LSSVM模型的预测精度更高，表明改进的灰狼优化算法在城市需水预测模型中具有较强的优势。
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