带电粒子在正交均匀的电磁场中的二维运动
白映祥
(甘肃省陇南武都八中 甘肃 陇南 746000)
在正交均匀的电、磁场中，沿与磁场方向垂直的平面射入的带电粒子是否会处于平衡状态？这是中学生常常提出的一个问题．本文在探讨这个问题时，不考虑粒子所受的重力．
设在空间某一区域内充满着电场强度为E的匀强电场和磁感应强度为B的匀强磁场(图1)，E⊥B，一质量为m，电荷量+q的粒子，以与B垂直的速度v0进入场内，v0与E的夹角为θ0．
图1 带电粒子射入正交均匀的电磁场
一般地说，该粒子将在与B垂直的平面内做曲线运动，为确定粒子的运动轨迹，我们取直角坐标系的xOy平面与B垂直，x的正方向与E的正方向一致，磁感应强度B垂直纸面向里，粒子进入场内时的点O为坐标原点．设粒子进入场内时开始计时，经时间t后它到达xOy平面内曲线OA上的P(x,y)点，此时粒子的速度v与E的正向的夹角为θ，于是我们有
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
式中
FE=qE
FB=qvB
由式(2)和(3)得
因为当x=0时
故
C1=mv0sinθ0
所以
(6)
由式(1)和(6)得
FE-qBvsinθ=
这个微分方程的解是
式中
令
则
x=-Acos(ωt+φ)+P
(7)
因为当t=0时
x=0
所以
P=Acosφ
(7a)
式(7)对t求导得
因为当t=0时
所以
v0cosθ0=ωAsinφ
(7b)
由式(7a)和(7b)得
而因为
有
积分上式得
(qBP+mv0sinθ0)t+C2
因为t=0时，y=0，所以
因此
(8)
下面进行坐标变换：
设
令
x′=x+l
由式(7)得
(9)
令
则由式(8)得
(10)
于是在新坐标系x′O′y′中，有
这是以ωt+φ为参变量的旋轮线参变方程．由此得知，带电粒子在正交的匀强电场和匀强磁场中的运动轨迹是旋轮线.
这对应于
而当v0=0时，参变方程(9)和(10)简化为
图2 正电子在相互垂直的匀强电、磁场中的二维运动
这表明此时带电粒子沿y轴做匀速直线运动．
现在我们来考查带电粒子在运动中的受力情况．
x有极值的条件是式(7)的导数为零
即当x有极值时，粒子的水平分速度为零，且
ωt+φ=2nπ,(2n+1)π,(n=0,1,2,3，…)
这时
因为粒子只具有沿y方向的分速度，所以作用在粒子上的电场力和洛伦兹力必在一直线上.
负号表示合力的方向跟电场强度的方向相反．
F′=FE-FB=
F″=FE-FB=
F″=FE-FB=
最后应该指出，因为式(9)、(10)右端的第一项和第二项中都含有共同因子q，所以将q换为-q时，x′和y′同时变号，即-q粒子与+q的运动轨迹对坐标原点O′对称．
下面是参考数据(以正电子为例)
m=9.1×10-31kg
q=1.6×10-19C
由图2(a)有
l≈0.11 m
Aφ-Asinφ≈0.04 m
由图2(b)有
l≈0.25 m
φ≈0.53π
由图2(c)有
图2为正电子在相互垂直的匀强电、磁场中的二维运动，具体数值如下.
在图2(a)中曲线a-v0=0
曲线b-v0=2.0×107m/s
在图2(b)中v0=4.6×107m/s
在图2(c)中v0=1.0×107m/s
