新q阶序对模糊信息测度
戴经国，彭新东
（韶关学院 信息工程学院，广东 韶关 512005）
作为直觉模糊集［1］的一种有效拓展，由于q阶序对模糊集［2］能通过调节参数q更加灵活地描述客观世界，因此其受到了学者的广泛关注.目前，q阶序对模糊集在众多领域取得了较为丰富的研究成果［3］，诸如拓展模型［4］、整合算子、信息测度、多属性决策.
q阶序对模糊信息测度作为一个整体概念，其包含距离、相似度、熵、包含度和知识度. Pinar等提出了具有可调节参数的q阶序对模糊距离，并将其应用于供应链选择［5］. Kham等设计了基于余弦与余切的q阶序对模糊相似度［6］.Verma构建了两种基于序a形式的q阶序对模糊熵以确定客观权重，并将其应用于ERP软件选择［7］. Peng给出了q阶序对模糊包含度的公理性定义，探讨了7种基本q阶序对模糊包含度及其关系，并将其应用于医疗诊断［8］. Khan等人分析了知识度的定义，引出了q阶序对模糊知识度［9］.
现有文献［5］仅针对距离、相似度、熵和包含度建立了统一的转换框架，并没有将知识度纳入，极大地限制了q阶序对模糊信息测度的统一范围.此外，现存有关q阶序对模糊信息测度诸如相似度、距离存在违反公理［8-12］、不能有效比较［13］等不合理现象，进一步削弱了其使用场景.笔者通过定义新的q阶序对模糊信息测度公式，融入知识度，构建全面的q阶序对模糊信息测度转换公式解决信息测度不全问题.
1.1 q阶序对模糊集
定义 1 设X为给定的论域，则称：
为X上的q阶序对模糊集［2］.其中，μQ（x）与vQ（ x）分别表示X上元素x属于Q的隶属度与非隶属度，并且满足0≤μQ（x），vQ（x）≤1，0≤μqQ（x）+vqQ（x）≤1.此外，为X上元素x属于Q的犹豫度.为表述方便，称=（μ，v）为q阶序对模糊数.当所有的为（1，0），则记为Ψ；
当所有的为（1，0），则记为Q.
定义2 对任意2个定义在X上的q阶序对模糊集Q1和Q2，则：
（1）Q13Q2+6x∈X，μ1（x）≤μ2（x）和v1（x）≥v2（x）；
（2）Q1=Q2+Q13Q2和Q14Q2［2］.
定义 3设Q1和Q2为2个q阶序对模糊集，且k＞0，则有定义：
（1）Q1c=｛〈x，v1（x），μ1（x）〉| x∈X｝；
（2）Q1,Q2=｛〈x，μ1（x）0μ2（x），v1（x）/v2（x）〉| x∈X｝；
（3）Q1+Q2=｛〈x，μ1（x）/μ2（x），v1（x）0v2（x）〉| x∈X｝；
定义了q阶序对模糊环境下的信息测度，其包含距离、相似度、熵、包度和知识度，并且讨论了它们之间的转换关系.为此，假设q-ROFS（X）是定义在论域X上的一系列q阶序对模糊集.
2.1 q阶序对模糊距离
引理1设（mtnmnt-mt+1-nt+1+xty+xyt-xt+1-yt+1） （x，y，x+y∈［0，1］，t≥1）是 一 个 当m≤x≤1，y≤n，y≤x和0≤x≤m，y≥n，y≥x时，分 别 相 对 于x，y的单调递增函数；
也是一个当0≤x≤m，y≥n，y≥x和m≤x≤1，y≤n，y≤x时，分于x，y的单调递减 函数［15］.
定理 1设Q1和Q2为两个在论域X上的q阶序对模糊集，则D（Q1，Q2）是一个距离，即：
证 易证距离D（Q1，Q2）满足定义中的（D1）~（D4），故只证明（D5）.
若Q13Q23Q3，则对任意的x∈X有μ1（x）≤μ2（x）≤μ3（x）和v1（x）≥ν2（x）≥ν3（x）.
设m=μ1（x），n=v1（x）和序对（μ2（x），v2（x）），（μ3（x），v3（x））满足m=μ1（x）≤μ2（x）≤μ3（x）和v3（x）≤v2（x）≤v1（x）=n.
通过引理1中f（x，y）的单调性定义，可得出f（μ3（x），v3（x））≤f（μ2（x），v3（x））≤f（μ2（x），v2（x））.
进而可得：
因此，D（Q1，Q3）≥D（Q1，Q2）；
类似地，可得D（Q1，Q3）≥D（Q2，Q3）.证毕.
命题1 设Q1，Q2和Q3为3个在论域X上的q阶序对模糊集，满足对任意的x∈X有Q1Q2或Q1Q2，则：
2.2 q阶序对模糊相似度
定理2 设Q1和Q2为两个在论域X上的q阶序对模糊集，则S（Q1，Q2）是一个距离，即：
2.3 q阶序对模糊熵
定理3 设Q为论域X上的q阶序对模糊集，则E（Q）是一个熵，即：
证 易证E（Q）满足定义中的（E1）~（E4），故只证明（E5）.
为证明E（Q）满足（E5），只需证明函数（5）成立，即：
其中a，b∈［0，1］.当a≥b时，相对于a来说是单调递增函数，相对于b来说是单调递减函数；
当a≤b时，相对于a来说是单调递减函数，相对于b来说是单调递增函数.
对函数f中的a，b分别取偏导可得：
根据方程（6）到（8）可得，对于任意的a，b∈［0，1］，当a≤b时当a≥b时，
类似地，对于任意的a，b∈［0，1］，当a≤b时当a≥b时
此外，E（Q）能重写为
进 而，对μ1（x）≤μ2（x）≤ν2（x）≤ν1（x），可 导 出 对 任 意 的x∈X有f（μ1q（x），v1q（x））≤f（μ2q（x），））≤f（μ2q（x），v2q（x））.很明显，E（Q1）≤E（Q2）.
类似地，当v1（x）≤v2（x）≤μ2（x）≤μ1（x）时，E（Q1）≤E（Q2）.证毕.
命题2 设Q1和Q2为两个在论域X上的q阶序对模糊集，满足对任意的x∈X有Q13Q2或Q14Q2，则：
2.4 q阶序对模糊知识度
定理 4 设Q为论域X上的q阶序对模糊集，则K（Q）是一个知识度，即：
证 易证K（Q）满足定义中的（K1）~（K4），故只证明（K5）.而证明其成立，只需证明函数（10）成立，即：
其中a，b∈［0，1］，0≤aq+bq≤1.当a≥b时，相对于a来说是单调递增函数，相对于b来说是单调递减函数；
当a≤b时，相对于a来说是单调递减函数，相对于b来说是单调递增函数.
若a≤b和a，b∈［0，1］，0≤aq+bq≤1，则0≤a≤
进而，函数（10）可重写为f（a，b）=1-（1+aq-bq）（2-aq-bq）.
对函数f中的a，b分别取偏导可得和故当a≤b时，相对于a来说是单调递减函数，相对于b来说是单调递增函数.
类似地，当a≥b时，相对于a来说是单调递增函数，相对于b来说是单调递减函数.
此外，将K（Q）重写为
进而，对μ1（x）≤μ2（x）≤ν2（x）≤ν1（x），可导出对任意的x∈X有f（μ1（x），v1（x））≥f（μ2（x），v1（x））≥f（μ2（x），v2（x））.易知，K（Q1）≥K（Q2）成立.
类似地，当v1（x）≤v2（x）≤μ2（x）≤μ1（x）时，K（Q1）≥K（Q2）.证毕.
2.5 q阶序对模糊包含度
定理 5 设Q1和Q2论域X上的q阶序对模糊集，则I（Q1，Q2）是一个包含度，则：
证 易证I（Q1，Q2）满足定义中的（I1）~（I3），故只证明（I4）.
如果Q1=Q2=ψ，结论很明显.
如果Q1≠ψ，Q2≠ψ，Q13Q23Q3，则对任意的x∈X有μ1（x）≤μ2（x）≤μ3（x）和v1（x）≥ν2（x）≥ν3（x）.
进而可得，1+v22（x）-μ22（x）≤1+v32（x）-μ32（x）.
根据包含度的公式可得，I（Q2，Q1）≥I（Q3，Q1）.证毕.
命题 3 设Q1和Q2为两个在论域X上的q阶序对模糊集，则：
2.6 q阶序对模糊信息测度转换框架
根据上述讨论，发现信息测度的函数，包括距离、相似度、熵、包含度和知识度并没有统一. 因此，下面将详细地探讨q阶模糊信息测度的关系.
定理 6 设D是一个q阶序对模糊距离，对任意的Q∈q-ROFS（X），若f是一个在［0，1］上的单调函数，则是q阶序对模糊集Q的熵.
证 仅需证明其满足熵的5条公理成立.
易证E（Q）满足定义中的（E1）~（E4），故只证明（E5）.
如果Q1比Q2比模糊性少，定义成Q13Q2，则μ1（x）≤μ2（x）≤ν2（x）≤ν1（x）.
进而，根据距离的公理性定义，可得D（Q1，Q1c）≥D（Q2，Q1c）≥D（Q2，Q2c）.
类似地，当v1（x）≤v2（x）≤μ2（x）≤μ1（x）时，D（Q1，Q1c）≥D（Q2，Q1c）≥D（Q2，Q2c）.
定理 7 设S是一个q阶序对模糊相似度，对任意的Q∈q-ROFS（X），则S（μ，v）是q阶序对模糊集Q的熵，其中-μ，1-v.
证 仅需证明其满足熵的5条公理成立.
易证E（Q）满足定义中的（E1）~（E4），故只证明（E5）.
由于Q1模糊性比Q2少，对任意的μ1（x）≤μ2（x）≤ν2（x）≤ν1（x），则对任意的μ1（x）≥μ2（x）≥ν2（x）≥ν1（x），则
定理 8 设I是一个q阶序对模糊包含度，则S（Q1，Q2）=I（Q1，Q2）/I（Q2，Q1）是q阶序对模糊相似度.
定理 9 设K是一个q阶序对模糊知识度，则E（Q）=1-K（Q）是q阶序对模糊熵.
同理可证定理8、9，笔者不再赘述.
q阶序对模糊信息测度是不确定领域研究的一个重要课题，能够有效地解决医疗诊断问题.笔者针对q阶序对模糊距离、相似度、熵、包含度和知识度尚未建立统一的转换框架，构建了五位一体的转换模式.此外，定义了q阶序对模糊信息测度的5类计算公式，并构造了基于q阶序对模糊算子的等式与不等式关系，丰富了不等式理论.在以后的研究中，希望可以将提出的q阶序对模糊信息测度理论应用于医疗诊断中，或者把更多的具有测度诸如联系度，纳入到q阶序对模糊信息测度.
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