基于中轴变换的直刃刀汉字雕刻方法
孙子博，曹利新
（大连理工大学机械工程学院，辽宁 大连 116024）
数控铣削的基本加工原理是利用高速旋转的铣刀将工件材料打碎，从而使加工材料与工件分离，具有精度高、效率高、柔性高等特点。但通过铣削加工木材或NOMEX蜂窝复合材料时存在加工粉尘大、纤维拔出等问题。为保证加工质量，通常需要减小切削参数，从而会制约加工效率[1-2]。刀具凭借超声技术能以较小切削力完成加工，因而以切割形式去除材料的直刃刀在加工中逐渐得到应用[3-4]。因为直刃刀在加工时需要控制3个移动自由度和3个旋转自由度，所以刀具路径规划方法与铣削等常见加工方式的不同。
由于现有CAM技术还不支持直接生成直刃刀加工时的刀具路径，因而国内外学者研究了直刃刀加工经典零部件时的刀具路径规划方法，高涛等[5]指出了规划直刃刀加工刀具路径时应处理轨迹突变处的抬刀问题与轴向过切问题；
Liu等[6]基于行切法规划了直刃刀加工长方体时的刀具路径，但其重点在于搭建后处理系统；
Cui等[7]基于往复行切法规划了直刃刀加工类圆柱面时的刀具路径，并分析了影响残留高度的刀具路径参数。但还没有学者研究采用直刃刀加工自由曲线轮廓时的刀具路径规划方法[8]。
轮廓的中轴变换结果富含其几何学信息，因为易生成轮廓等距线[9]，所以被广泛应用于刀具路径规划。Elber等[10]基于相邻中轴变换圆的半径变化最小提出了一种C1连续的型腔铣削刀具路径规划方法，该方法适用于高速加工细长型区域；
杨梦媛等[11]基于中轴变换规划了型腔高速铣削的类环切法刀具路径，生成的刀具路径平滑无抬刀且步距在允许范围内平稳变化。目前，基于中轴变换的刀具路径规划方法主要是针对回转型刀具，还没有学者将其应用于直刃刀加工。
本文以矢量汉字雕刻为研究对象，基于中轴变换提出了一种直刃刀雕刻矢量汉字的方法，该方法同时适用于加工自由曲线轮廓。本文简述了中轴变换的定义与直刃刀去除材料的过程，并详细阐述了刀具路径点与工具坐标系姿态的确定方法，最后通过仿真与实验相结合的方法验证了所提方法的可行性。
平面域图形的中轴线是指所有最大圆盘的圆心集合，而最大圆盘是指完全包含在封闭轮廓内部且至少与边界轮廓相切于两点的圆。即中轴线上的点到两侧边界轮廓的距离相同。将最大圆盘称为中轴变换圆，将中轴线上的点即圆盘圆心称为中轴点[12]。令Pc为边界轮廓C上一点，Pm为其对应的中轴点，则可以定义半径函数r（m）：
其中，R+为非负实数集，dis（Pm，Pc）表示点Pm到点Pc的距离。将中轴线与相应半径函数统称为中轴变换。
图1 矩形ABCD的中轴变换
本文对连续域边界采用巴文兰[12]提出的数学方法进行中轴变换求解，以基元段为单位提取如下数据：各中轴点的坐标与相应的变换圆半径、两边界点坐标以及两边界点处曲率。
本文采用的直刃刀刀具结构如图2所示，在Ot点建立工具坐标系Ot-XtYtZt，图中S为切削刃，L、b、H、2δ、γ分别表示刀具宽度、刀具厚度、刀具长度、刀尖角与刀刃面夹角。以L=5 mm、b=2 mm、H=35 mm、δ=30°、γ=4°建立的刀具3D模型如图3所示。由于刀具只在Yt正方向上有实体，因而加工时Yt轴应与加工区域内侧同向；
而由于切削刃分布在Xt方向两侧，因而加工时Xt轴与进给方向平行即可。
图2 直刃刀三视图
图3 直刃刀3D模型
直刃刀加工时刀具沿同一条刀具路径以不同倾斜角α（绕Xt轴旋转的角度）加工两次，使“V”形切屑与工件分离。工件加工区域呈“V”形凹槽，因此直刃刀加工又被称为“V”形加工。
在待加工工件表面建立工件坐标系O-XYZ，以平行于X轴的加工轨迹为例，直刃刀加工时材料的去除方式如图4所示。其中YOZ平面内的示意图如图4（a）所示，XOZ平面上A-A截面内的示意图如图4（b）所示，加工过程的3D效果如图4（c）所示。图4中DL为刀具路径，vf为进给方向，ap为加工深度，α1与α2为两次加工时的倾斜角。
图4 直刃刀加工时材料去除方式
加工时以DL为刀具路径，首先以α1为倾斜角进行加工，此时Xt轴方向为X轴负方向；
然后以DL为刀具路径，再以α2为倾斜角进行加工，此时Xt轴方向与X轴正方向一致。两次加工后所去除材料在YOZ平面内的形状如图4（a）中Ω所示。
结合前两节可知，选取待加工轮廓在一定加工深度ap下的中轴线为刀具路径，调整倾斜角α使刀具在加工表面上刚好与待加工轮廓接触，即可雕刻出“V”形轮廓。
当待加工轮廓确定后，加工深度ap与倾斜角α相互影响：给定加工深度ap不变，则每个中轴点处的倾斜角α=arctan（r/ap），此时可实现等深度汉字雕刻；
给定倾斜角α不变，则每个中轴点处的加工深度ap=r/tanα，此时可实现等锥度汉字雕刻。
因为中轴线可被划分成若干个基元段，所以待加工轮廓也能以基元段为单位被划分成若干个区域。在每个区域内进行“V”形加工，并在区域的交界处进行垂直加工，从而完成汉字雕刻。
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图5中外侧曲线为待加工轮廓，内侧实曲线为中轴线，圆为分叉点处的中轴变换圆。该轮廓的中轴线有3个端点与1个分叉点，分叉点处的变换圆与轮廓有3个切点，分叉点与切点的连线如图5中虚线所示。分叉点将中轴线分成了3个基元段，即PMi（i=1,2,3）；
而分叉点与切点又将轮廓分成3个区域，每个区域包含1条中轴线PMi和2条边界线PC1i与PC2i。
图5 待加工轮廓及其中轴线
因为轮廓能以基元段为单位进行划分，同时生成两种雕刻方法（等深度与等锥度）的刀具路径的原理相同，所以本文以PM1所在区域为例阐述等深度雕刻的刀具路径规划方法。
首先，将工件坐标系确定在待加工表面上，并指定加工深度为ap。则待加工表面处的Z坐标值z=0，刀具路径处的Z坐标值z=-ap。然后，根据中轴线上各离散点的坐标确定刀具路径的X、Y坐标值，从而确定刀具路径的位置，如图6（a）所示。其次，根据中轴线上各离散点与对应边界点的相对位置关系确定刀具路径点的刀具姿态，与图4（a）所示相同。图6中，pm为刀具路径上一点，pc1与pc2为与之对应的边界点，r为当前变换圆半径，则Zt1=pc1-pm，Xt1=vf1，Yt1=Zt1×Xt1，PC1处的工具坐标系T1=[Xt1,Yt1,Zt1]。其中vf1为边界曲线在PC1处的切线，方向与刀具路径的前进方向v同向。同理可计算出pc2处的工具坐标系T2。
图6 点pm处工具坐标系姿态
加工时，首先调整姿态以PM1对应的刀具路径加工pc1侧边界，然后更换姿态再以相同刀具路径加工pc2侧边界。两次加工完成后，区域PM1仍在“切点-分叉点”连线处与工件相连。因此，在“切点-分叉点”处进行垂直加工，使区域PM1与工件完全分离后再加工下一区域。
所谓垂直加工，是指刀具的Z轴垂直于待加工表面进行加工，即α=0。此时，刀具路径从z=0处的切点指向z=-ap处的分叉点，如图7所示。沿分叉点与切点1以及切点3的连线完成垂直加工后，当前区域即与工件彻底分离。因为垂直加工只起到分离材料的作用，所以每个分叉点处只需要进行m次垂直加工，m为分叉点处的切点数量。
图7 “切点-分叉点”处工具坐标系姿态
综上，汉字雕刻可以分为两部分：沿中轴线的倾斜加工（α≠0）以沿及“切点-分叉点”的垂直加工（α=0）。以基元段为单位，完成所有基元段的加工，即可实现汉字的“V”形雕刻。
4.1 加工过切的避免方式
因为本文采用的直刃刀在结构上关于YtOtZt平面对称，所以加工曲率较小且为正的边界时在Xt方向上存在过切[13]。而当边界曲线的曲率为负时，不存在加工过切，如图8（a）所示。图中Ωin表示加工区域内侧，Ωout表示加工区域外侧，C表示待加工轮廓，pz为刀具Zt轴与加工表面的交点，bx为刀具宽度：
图8 加工过切示意图
式中：Lreal为刀具的实际接触长度；
bx为点pz到点Ot的距离。
当曲线曲率为正时，存在Xt向过切，如图8（b）中阴影A所示。过切量与曲率半径ρ、加工深度ap以及刀具刃面角γ有关。在加工过程中，因为ρ、ap与刀具结构都是确定的，所以只能通过调整倾斜角α来避免过切。
调整倾斜角α后，避免了过切的刀具位置如图8（b）中虚线所示。虽然调整后在当前位置存在加工残留B，但是后续加工会将其去除，因而不会影响加工效果。
每个刀位点处无过切的倾斜角α可以通过求解如下无约束优化问题得到：
式中：dis(pz,pz1)表示图8（b）中点pz1到点pz的距离。
4.2 雕刻方法验证
本文结合仿真加工与实际加工对所提方法进行验证。因为刀具在超声波作用下能以较小切削力进行加工，同时有学者验证了超声切割加工SiO2气凝胶材料[14]、Nomex蜂窝复合材料[15]以及蜂窝板发泡胶[16]等材料的可行性，所以可以认为借助超声技术的直刃刀能够在木制品上完成汉字雕刻。因实验条件有限，故选择陶艺泥作为汉字雕刻实验材料。
（1）仿真加工
提取楷体单笔画“中”字的轮廓并对其进行中轴变换，得到的轮廓与中轴线如图9（a）所示。选择等深度“V”形雕刻并令ap=8 mm，使用图3所示刀具模型，通过二次开发的UG六轴加工仿真模块加工后的工件如图9（b）所示。对比9（a）与9（b）可以看出，雕刻后汉字形状与原轮廓一致，且雕刻后汉字呈现“V”形，符合预期。
图9 仿真加工效果
（2）实际加工
提取楷体连笔画“大”字的轮廓并对其进行中轴变换，得到的轮廓与中轴线如图10（a）所示。选择等锥度雕刻并令锥度为90°，选择如图10（b）所示的末端执行器，雕刻后的汉字如图10（c）所示。从图10（c）可以看出，雕刻方法具有如下特点：（1）能保留尖角特征，有利于体现汉字神韵；
（2）形成的切屑是以基元段为单位的“V”形切屑条，能够避免产生大量粉尘，有利于改善加工环境；
（3）刀具路径总长度短，加工效率高。
图10 实际加工效果
基于中轴变换理论，提出了一种采用直刃刀雕刻汉字的方法：（1）以加工深度下的中轴线为刀具路径，倾斜不同角度先后加工两侧边界曲线，加工后汉字截面呈“V”形，符合汉字雕刻的需要；
（2）可实现等深度“V”形雕刻与等锥度“V”形雕刻，适用于不同应用场景；
（3）因为方法是基于待加工轮廓的中轴变换结果，所以同时适用于加工单连通轮廓与多连通轮廓；
（4）通过在分叉点处沿“切点-分叉点”加工解决了轨迹突变处的刀具干涉问题，并通过调整倾斜角解决了曲率为正时存在的Xt向过切；
（5）该方法的有效加工刀具路径长度为2倍的中轴线长度与3倍的分叉点变换圆半径，故加工效率高。