善构造,巧分解,释疑难——例谈带电粒子在复合场中非匀变速曲线运动的求解
何晓文
(甘肃省礼县实验中学，甘肃 陇南 742200)
带电粒子在匀强电场和匀强磁场组成的复合场中当所受合外力的大小和方向随着洛伦兹力的变化而发生变化时，粒子将做非匀变速曲线运动。这时粒子的运动过程较为复杂,其运动轨迹并非圆弧或抛物线，而是其它曲线，如螺旋线，轮轴线等[1]。这类运动尽管复杂，但其明显的特征是具有运动过程的空间周期性和时间周期性。因此，抓住其运动特征，合理的构造（转化），巧妙分解，一般都可以将粒子的运动分解为以个直线运动和一个匀速圆周运动两个简单的分运动，使许多复杂的问题迎刃而解。下面举例说明：
如图1所示，空间存在足够大，正交的匀强电、磁场。电场强度为E，方向竖直向下。磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。
图1
从电磁场中某点P由静止释放一个质量为m电荷量大小为+q的粒子（粒子受到的重力忽略不计），其运动轨迹如图中虚线所示。
求①粒子运动的周期T和一个周期内的水平位移L；
②粒子在运动过程中下落的最大高度H和运动过程中的最大速度。
析与解：此题若利用力和运动的关系以及能量转化规律求解，几乎无从下手，一个问题都解决不了。若在粒子刚释放的瞬间，通过构造给粒子附加等值反向的水平速度,（未改变初始条件），且使得,这时粒子沿水平方向向右以匀速直线运动时分运动受到的洛仑兹力与电场力平衡，而以水平向左以速度开始的分运动，是仅在洛伦兹力作用下的匀速圆周运动。该曲线运动就可以分解为以水平向右的匀速直线运动和以（向左）从P点起仅在洛伦兹力作用下的匀速圆周运动，如图2所示。
图2
其圆周运动的半径为R,由得得：，故知：。
而圆周运动的周期也就是粒子运动的周期,即。由运动的合成可知，粒子运动到最低点时，其合运动速度最大，。
一个周期内，匀速圆周运动的平均速度为0，因而粒子在一个周期内水平位移即为水平向右匀速运动的位移，故。
方法归纳：此类题目其解法要点是，通过构造（转化）巧妙对速度进行分解，使洛伦兹力的一个分力（对应速度为）与粒子受到的其它恒力（如电场力，重力，或其合力）平衡，这样粒子的运动就会分解为方向的匀速直线运动和以另一洛伦兹力的分力（对应的速度为）作用下的匀速圆周运动。其速度分解的原则有两点：一是不能改变初始条件，二是要使其某一方向匀速直线运动受到的洛伦兹力与粒子受到的其它恒力或其合力平衡。
如图3 所示，空间存在—范围足够大的沿y轴正向、大小为E的匀强电场和垂直于xoy平面向外磁感应强度大小为B的匀强磁场，现让质量为m，带正电的粒子从O点以初速度沿Y轴正向射出后，粒子在运动过程中：
图3
(1)证明：在任一时刻，粒子速度的X分量与其所在位置的Y坐标成正比，比例系数与场强大小E无关；
（2）求该粒子运动的最大速度值[2]。
析与解：此题，不仅考查了功能关系，向心力来源分析等知识，更重要的是要对题给出的信息进行加工和处理，挖掘其临界情景，全面考察了分析综合能力，是一道难得的好题。要解答上面的问题，我们仍可应用例1 中的方法。
通过构造（转化），巧妙分解，将粒子的初速度分解为沿正X方向的分速度与斜向左上方的分速度，这样粒子的运动过程就可分解为水平向右速度为的匀速直线运动与以速度，半径为在纸面内沿顺时针方向的匀速圆周运动（如图4 所示），由运动合成知识可知，粒子在最高点初速度最大，其最大值为。
图4
另外，任意时刻t，圆周运动速度的水平分量为为圆周运动角速度），其中，而，故粒子合运动沿x 轴方向的分速度，即可证明与y成正比且与E无关。（如图5 所示）。而粒子在xoy 平面内运动的周期就是其一个分运动圆周运动的周期，其值为。可见用构造分解的方法，可迅速突破思维障碍使问题得到解决。
图5
如图6 所示，在场强为B的水平匀强磁场中，一质量为m、带正电q的小球在O点由静止释放，小球的运动轨迹如图中曲线所示，重力加速度为g，求：
图6
(1) 小球运动到任意位置P(x，y)的速率；
(2) 小球在运动过程中第一次下降的最大高度；
(3) 若在上述磁场中加一竖直向上场强为E的匀强电场时，小球从O静止释放后获得的最大速率[3]。
析与解：第一个问题的求解，由功能关系可知粒子运动速率的变化由重力做功引起：
而其第二问，可将粒子的运动分解为沿着正X方向速度为的匀速直线运动与速度为、半径为R沿顺时针方向的圆周运动的合运动。由运动合成知识可知在第一次下降到最低点时其下降的最大高度为，其第三问，如图7 所示亦可通过构造，将粒子的运动分解问沿x负方向以速度的匀速直线运动和以速度v2仅在洛伦兹力的作用下的顺时针圆周运动的合运动，易知在其最高点速度最大，其值。此题由江苏高考题改编，原题在题干部分加上了（轨迹最低点的曲率是其到x轴距离的2 倍）条件，借助曲率概念、功能关系、圆周运动知识等方可求解，至于附加条件中的结论因何而来考生不得而知，造成许多困惑。要解决上述困惑，也可以用例2 中方法去证明，在此不再赘述。
空间存在匀强磁场和匀强电场，磁场方向垂直于纸面（xoy平面）向里，电场的方向沿y轴正方向，一带正电粒子在电场和磁场的作用下，从坐标原点O由静止开始运动。下列四幅图中，可能正确描述该粒子运动轨迹的是
析与解:通过审题可知,粒子仅在电场和磁场作用下运动,故粒子重力不计为隐含条件，重点考察考生挖掘隐含条件的能力。可通过构造使粒子时受到的洛伦兹力恰好与电场力平衡，这样粒子的运动将分解为沿x 轴负方向以特定速度的匀速直线运动和以坐标原点为最低点沿逆时针方向与匀速直线运动速度大小相等速率的匀速圆周运动。粒子合运动速度的X 分量虽大小周期性变化，但方向始终沿X 轴负方向，因此粒子运动的轨迹只能为B 选项。此外，当带电粒子以一定速度斜射入彼此平行、竖直方向的电磁复合场中运动时，粒子的运动可分解为竖直方向的直线运动和水平面内的圆周运动，其运动轨迹将是螺旋线（竖直方向受力平衡时是等距螺旋线，竖直方向受力不平衡时是不等距螺旋线）。
总之，当粒子在电、磁、重力三场并存的空间运动，且电场方向在竖直方向、电磁场彼此正交，并受三力（至少两力，其中必须有洛伦兹力）共同作用而做非匀变速曲线运动时，我们可以通过构造，使洛伦兹力的一个分力与粒子受到的其它恒力（如电场力，重力，或其合力）平衡，这样粒子的运动就可分解为两个常见的分运动（直线运动和圆周运动）。利用题设条件，善于构造、巧妙分解，可破解此类难点问题。
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