以“前数学理解”联结数学实验中的核心问题
江苏南京市樱花小学（210042）林 超
问题是数学的心脏，而数学实验是解决问题的重要手段。因为方法缺失等原因，数学实验中各要素之间的联结常被割裂，充分挖掘学生的“前数学理解”，使之与推动实验开展的核心问题联结，可以更好地引导学生进行思考与探究。
“前数学理解”融合了学生的原有经验、已有认知等各种生长资源，是一个由已知到未知的联结点；
“前数学理解”融合了学生的原生思考、数学直觉等各种资源，是一条从片面、感性走向丰盈、深刻，促进思维自然生长的路径。在数学实验中，知识的呈现常需借助问题的导引，学生的操作也常伴有问题的介入与解决，因此可以“前数学理解”联结核心问题设计结构链（如图1），借此突出学生在数学实验中思维的生长力量，实现真正意义上的思维活动与探究活动的深度融合。
图1
数学实验的操作对象多以半抽象的实物和抽象的模型为主，若加上学生已在日常生活中形成的“自然概念”，可帮助学生清除数学化理解的障碍，使其在“动手做”中揭开被掩盖的思维轨迹。学生的“自然概念”形成于生活并整合了诸多“前数学理解”的资源，它们是思维系统中的独立表征，需要教师设计逻辑递进的核心问题，形成内在的前沿后续的逻辑线索，从而引导学生高效完成实验。
以苏教版教材六年级下册“动手做——简易杠杆”为例，教材虽然只出示了百字的题干和两个问题（如图2），但其呈现的知识点前后依存的关系非常明显，可细分为介绍简易杠杆的制作方法，探究在特定条件下杠杆保持平衡的规律，探究在珠数不等、距离数不等的条件下保持杠杠平衡的规律，探究“当左边的距离数和珠数保持不变时，右边的距离数和珠数成反比例关系”的规律四个方面。因此，原来的两个问题只能视作两个特例来研究，须在题干的基础上扩大问题的研究范围。
图2
因为学生已具备与“杠杆”和“反比例”相关的知识，但为了细化操作步骤并降低操作难度，教师课前已将制作杠杆的相关知识做了介绍，所以刚一出示杠杆的现实原型，学生便很快明白了本课的核心为理解杠杆的平衡及发现其中的“反比例”特征。这个环节体现了学生基于“自然概念”自觉调用头脑中潜在的“前数学理解”，产出对已知的个性化理解。
数学实验须具有逻辑性的结构链，教师可围绕核心问题设计支架问题，以层层递进引导学生对核心问题进行思考。基于此，笔者设计了三个富有逻辑性的问题，以引导学生开展杠杆平衡实验。问题1：杠杆左右两边质量相等，一定会平衡吗？问题2：当在杠杆左侧距离为4处挂3个钩码时，右侧是不是一定要在同样的距离处挂同样质量的钩码？在表中记录数据（如表1）。问题3：“左边质量×距离=右边质量×距离，杠杆就能平衡”这个猜想正确吗？先在表中记录数据（如表2），再进行判断。
表1 杠杆平衡实验数据表
表2 杠杆平衡实验数据表
本次实验以探寻杠杆的平衡与哪些因素有关作为核心问题，实验前学生依据“前数学理解”已经初步了解所要研究的内容，但他们的认知只停留在“平衡”的表象，而没有对实验数据细加琢磨。对此，笔者以组织学生对核心问题进行交流为契机，设计有效的支架问题促使学生自主运用数学知识多元表征自己的研究结果。
徐利治先生指出，数学思维分为收敛思维和发散思维。收敛思维注重一丝不苟的逻辑分析的验证与论证。发散思维强调海阔天空、自由创造，由此及彼、浮想联翩。数学创造开始于不严格的发散思维，继之以严格的收敛思维，两者相辅相成。为此，教师需保持一定的敏感度，在呈现出个性化生长态势的课堂中发现学生的“前数学理解”，并引导学生体会其中隐含的数学思想。
例如苏教版教材六年级下册“圆柱的侧面积和表面积”的例题以求“商标纸的面积大约是多少平方厘米？”为问题导向，在例题图的暗示下，学生能认识到：若按图示的做法沿着商标纸的接缝剪开，那么得到一个长方形，其中长方形的长就是圆柱的底面周长，长方形的宽就是圆柱的高，再根据长方形的面积公式就可顺利推导出圆柱的侧面积公式。而这一操作过程体现的就是本课的核心问题：圆柱侧面积计算方法的推导。循着这个思路操作的实验会很顺畅，但这样一个过于顺应原生思维的实验，并没有捕捉到学生的原生顿悟，也没有暴露知识的实际来源，应用价值并不大。
鉴于此，笔者设计了支架问题：（1）对于圆柱侧面积公式的推导，还有没有其他的方法？（2）对于你思考出的方法，试着画一画、剪一剪。圆柱侧面积公式能不能推导出来？不出所料，问题一提出，立刻得到了学生肯定的答复（如图3、图4）。
图3
图4
以上问题的设计，根植于学生的“前数学理解”。学生依据实际经验迅速对问题（1）做出了合理猜测，并在核心问题的引领下，对问题（2）进行相应的验证和评价。验证时，学生分析了图形的本质特征，深刻把握了图形的基本属性，头脑中形成了动静结合的图感。
在学生对圆柱的侧面积公式有了思辨之后，在圆柱的底面积的教学中，笔者并不拘泥于教材中的原题，而是出示了一道常见题（如图5）。
图5
乍一看，这道题数据单一，但学生对本课的核心问题已有体悟，对底面周长和高也有了充分的认识，于是笔者引导他们将图形转变为文字，再转化为符号，在学生认知的可持续生长中融合思辨与图感，促进学生将“前数学理解”提升为数学思想。
图感可以理解为对图形的直观感觉和敏锐程度。而思辨本质上是学生运用数学思想方法，从数学角度观察、辨析和解决各种问题的思维能力。在数学实验中借助图感和思辨，且以“前数学理解”为指引，不仅能探索和发现核心问题的外在形式，更能洞察核心问题的内在本质，从而获得对其一般的、普遍的理解。
郑毓信教授指出：我们应当努力做到“浅入深出”，特别是，应通过适当的“问题链”将学生的思维逐步引向深入，包括由知识的层面逐步深入思维的层面。对此，在联结“前数学理解”与核心问题时，应当明确学习序列，使知识形成的逻辑序与学生的认知序相吻合，这个过程若以数学实验为载体，则能引导学生在实验中拉长思维的时间，使抽象的知识变得“可感”，进而发展学生的思维能力。
以苏教版教材五年级上册“动手做——图形的分割”为例，其核心问题是探索“通过某些图形中心任意画一条直线一定能把图形分成完全一样的两部分”的规律。出示题干（如图6）后，需引领学生观察图形并分析数据，形成有根据的猜想。此时通过观察所获得的第一手材料是理性分析赖以进行的基础与依据，随之便自然形成了“观察→猜想→思辨→验证”的实验流程。
图6
笔者将教学分为6个环节：
1.呈现教材中的两个平行四边形，提出问题：过它们的中心画一条直线，这条直线会将它们分成两个什么图形？这两个图形会有怎样的关系？
2.学生猜想，接着找平行四边形的中心，并过中心任意画一条直线，沿着这条直线将平行四边形剪成两个图形，比较这两个图形是否完全相同，验证猜想。
3.提出问题：过长方形或正方形的中心任意画一条直线，是不是也能将长方形或正方形分成两个完全相同的图形？如果可以的话，正六边形是否也存在这样的规律？
4.学生猜想，并尝试验证。
5.提出问题：过正三边形、正五边形、正七边形等的中心任意画一条直线，是否也存在这样的规律？
6.学生猜想，实验验证并拓展。
课后反思时，笔者发现学生在“前数学理解”的基础上，根据平行四边形的画法提示，已经不需要实验就能验证猜想并补充想法，这会削弱学生的操作能力，阻碍学生创造能力的发展。因此，笔者根据学生的学习心理和认知规律，将外在的动手操作和内在的数学思考做了调整，设计了新的数学实验单（如图7）。
图7
对于题1，学生发现能把正方形分成面积相等的两部分的直线都经过正方形的中心点，而且这样的直线有无数条。对于题2，学生发现经过长方形、平行四边形、正六边形中心点的直线，也能将它们分成面积相等的两部分，而且这样的直线也有无数条。题3则与前两题不同，学生发现经过正三角形的中心点，只有3条直线能把正三角形分成面积相等的两部分，而经过正五边形的中心点，只有5条直线能把正五边形分成面积相等的两部分。题4的设计更加开放，已不是简单地画直线分割图形，而是出现了层次性的序列问题，学生必须将“前数学理解”上升到理性思考的高度，从而激活新知的生长，促进自身数学学习的自然生长。
综上所述，以“前数学理解”联结数学实验中的核心问题，使得数学实验更加有弹性，为学生的学和教师的教留出了空间。教师应善于挖掘学生的“前数学理解”，围绕核心问题设计支架问题链。运用这样的教学方式，课堂中会不断生成新的问题，这也意味着研究之路会一直延伸下去。
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