齐次线性方程组解的结构及求解的混合式教学设计
谭 冰， 王 婷， 高景利， 虎大力
(南阳师范学院 数学与统计学院, 河南 南阳 473061)
线性代数课程是我国本科院校理工类、经管类专业的公共必修基础课之一，在电路分析、通信工程、结构分析、计算机技术、人工智能、经济学等领域都有非常广泛的应用.该课程所包含的知识、技能、计算、推理等已深入渗透到理工、经管等学科交叉领域，所涉及的理论和方法更是广泛应用于各个学科，为学生后续课程的学习和从事科学研究提供必不可少的数学工具和手段[1].尤其在新工科背景下，通过该课程培养学生抽象逻辑思维、数学表达和概括能力以及综合运用所学知识分析、解决问题的能力，对提高学生的综合素养和培养复合型应用人才具有重要作用[2].
与高等数学和概率论课程相比，线性代数课程具有概念抽象、公式繁杂、系统性强、知识点联系紧密等典型特征，学生很难从整体上掌握课程理论体系，学习难度较大，导致多数学生仅以取得学分为学习目的，而对课程本身缺乏兴趣[3].因此，在教学过程中要充分调动学生的学习积极性和自主性，引导学生构建“提出问题-表达问题-分析问题-解决问题”的科学思维方式，培养学生良好的学习习惯和严谨求实的数学素养.
线性代数课程内容主要包括行列式、矩阵、线性方程组、向量组和二次型等，其教学主线和核心内容是线性方程组及其求解[4-6]，其他内容可以看作线性方程组的求解工具(例如：行列式、矩阵、向量等)，或者线性方程组内容的延伸或应用(例如：特征值、向量空间等).该部分内容的典型特点是抽象性和逻辑性非常强，对学生的推理演绎能力、抽象逻辑思维能力有较高的要求，然而目前教学方式和学生能力培养现状不容乐观.因此，在教学过程中做好相关内容的教学设计显得日益重要.
按照《中国教育现代化2035》的指示精神，结合师范认证、工程认证等专业认证的标准及我校各学科的培养目标，基于多年教学实践及当代大学生认知发展规律和学习特点，围绕“以学生为中心”的教学理念，本研究针对“齐次线性方程组解的结构及求解”的教学目标和学生学习中存在的问题进行教学设计，开展课前、课中、课后三位一体、线上线下多元教学活动相融合、个人独立思考与小组协作讨论相互渗透的教学新模式，采取“化整为零、化难为易、积零为整”“问题导向、启发教学”等教学方法，引导学生开展深度学习并达成教学目标，进而培养学生的自主学习能力、小组协作能力、数学思维能力和创新能力.
同济大学出版的线性代数教材共有六章内容：行列式、矩阵及其计算、矩阵的初等变换与线性方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型、线性空间与线性变换(选修)，线性方程组及其解的结构分别出现在第三章和第四章[7]，充分突出了该部分的核心地位.
作为线性方程组的特殊情形，齐次线性方程组解的结构和求解是讨论非齐次线性方程组解的结构和求解的必备基础，属于线性代数课程中难度系数较高的内容之一，教学过程主要围绕两个问题进行：
(1)齐次线性方程组什么时候有非零解，即有无穷多个解？(非零解的判定，即基础解系存在性的判定)
(2)在齐次线性方程组有非零解的前提下，如何求出全部解？(解的结构)
针对上面两个问题，在教学过程中需要引导学生思考：线性方程组解的本质是什么(n维向量)？解集合的本质是什么(向量组)？启发学生联想矩阵和向量这两个重要工具，通过判断系数矩阵的秩与未知量个数是否相等解决方程组解的判定问题.
对于本节的重难点问题——齐次线性方程组的基础解系和解的结构，由于其高度的抽象性和严密的逻辑性，学生在学习过程中存在较大困难，难以理解“基础解系”的概念和本质、引入“基础解系”的作用和目的、如何利用“有限个解”表示“无穷个解”等问题，需要教师从向量角度抽丝剥茧、化整为零、由浅入深、层次递进地引导学生思考并进行推理分析，这些都是本节教学的痛点.
针对以上教学痛点，根据当代大学生对互联网的热衷现状和学习特点，充分利用校内SPOC教学平台，深入挖掘教材，运用互联网+多媒体技术，有机融合线上线下混合教学模式并渗透到整个教学过程，形成课前“线上温故+预习”、课堂“线下精讲+细讲”、课后“线上巩固+拓展”相互补充的闭环式教学过程.
2.1 任务驱动式课前线上学习
充分发挥互联网时代线上课程的优势，至少提前一周在校内SPOC教学平台发布复习和预习提纲、多媒体课件、短视频、小案例等，并要求学生思考以下问题：
问题1：齐次线性方程组的常用表示形式有哪些？这些形式之间有什么联系？
问题2：齐次线性方程组什么时候有(非零)解？解与解集合的本质分别是什么？
问题3：当齐次线性方程组有非零解(无穷多解)时如何表示出每个解(用有限表示无限)？
问题4：齐次线性方程组的解和解集合具有什么性质？
问题5：向量组的极大无关组定义是什么？具有什么性质？
问题6：齐次线性方程组Ax=0基础解系的定义是什么？
问题7：齐次线性方程组Ax=0基础解系存在的条件？
问题8：齐次线性方程组Ax=0确定基础解系的方法？
问题9：齐次线性方程组Ax=0解集合的结构？
问题10：齐次线性方程组Ax=0的求解步骤？
以上问题中1～5为需要复习回顾的知识， 6～10为需要课堂教学中精讲、细讲的重难点问题.要求学生充分利用饭前、饭后、睡前、周末等碎片时间，借助手机、电脑、平板等电子产品，通过个人独立思考与小组协作(一般以宿舍为单位)讨论，结合线上发布的资源开展碎片化学习，要求各小组录制讨论过程并在课程平台的讨论区发布预习中遇到的典型问题，通过生生、组间、师生线上线下讨论等方式沟通解惑，初步开启智慧课堂.要求学生独立完成线上预习题目(填空题、选择题、判断题等)，深入了解学生预习过程中存在的困难，并在课堂授课过程中有针对性地进行处理.
2.2 问题启发式课堂分层教学
结合学生在校内SPOC教学平台反馈的预习情况和疑难问题，精心设计教学内容和教学方式，引入“粗、精、细”分层教学法，将问题导向式启发教学贯穿整个教学过程，引导学生积极思考和探索，提高他们分析问题的能力；
有机结合PPT流程图动态演示与板书分析推导，引导学生掌握“特殊到一般、浅层到深层、具体到抽象”的数学思想方法，感性认知和抽象思维并重，培养他们的推理演绎能力和抽象思维能力.
2.2.1 创设情境，探究新知
从计算机普及以及技术人员经常面临的大型方程组求解问题引入课题“齐次线性方程组解的结构和求解”，让学生意识到本节内容的重要性.通过知识回顾和生活中的具体问题“设疑”(例如：辅导员想要了解本专业学生情况，会如何做呢？会不会真的询问每个学生，如果不会，怎么做才能高效率地了解全部学生情况？)，引导学生换位思考，认识到以“少”表示“多”的重要性，为后面以“有限”表示“无穷”留下伏笔，既保持知识的连贯性，又让学生对新内容有了整体把握，这样不但可以激发学生好奇心和学习兴趣，更能使他们产生学习的内在动机.
结合学生在校内SPOC教学平台反映的预习情况，对于齐次线性方程组的表示形式、解的情况、解和解集合的本质等内容(2.1中的问题1～5)，主要采取“师问生答”的方式进行“粗讲”；
对解的性质，引导学生思考：
(1)两个解相加、数与解相乘的结果是否仍然是齐次线性方程组的解？
(2)多个解的线性组合是否仍然是齐次线性方程组的解？
由此引出齐次线性方程组解集合的性质：对加法和数乘运算封闭，称为齐次线性方程组的解空间(概念).
2.2.2 分层教学，突出重点，突破难点
对于本节的第一个重点——基础解系的概念，仍采用创设问题的方法，结合辅导员了解本专业学生情况的实例，提出并引导学生思考并回答“辅导员所选择的学生具有什么特征？”，在此基础上继续抛出问题：
(1)当齐次线性方程组有无穷多解时，能否利用有限个解表示出所有解？
(2)如果齐次线性方程组的所有解能够利用有限个解表出，那么这有限个解具有什么特征？
通过生生讨论和师生互动，引导学生思考并发现上面两个问题中的“有限个解”需要同时满足的条件：
(1)互相独立(线性无关)；
(2)齐次线性方程组的任一解都能由这“有限个解”线性表出.
进而引导学生深入剖析以上两个条件，挖掘出关键信息：这“有限个解”是线性无关的，并且方程组的通解可由其线性表示，显然，其本质是齐次线性方程组解集合的一个极大无关组(解空间的一组基).并从方程组解的角度给这“有限个解”新的名称——齐次线性方程组的一个基础解系.通过这种创设情境、以问带学、边学边问的探索式教学方法，引导学生深入理解基础解系的定义和性质，并认识到基础解系在方程组求解中的关键作用，提高学生分析和解决问题的能力，培养他们的“纵深”思考能力.
对于本节的第二个重点——齐次线性方程组解的结构(同时是本节难点)，采取“化整为零、化难为易、积零为整”等教学方法，采取“精讲+细讲”形式进行课堂教学.首先根据“齐次线性方程组的任一解都能由基础解系线性表出”这一性质，利用分层教学法将“解的结构”分解成两个问题：
(1)齐次线性方程组Ax=0在什么条件下存在基础解系？
(2)如果基础解系存在，如何寻求？
针对问题(1)，通过PPT流程图(图1)动态演示方式进行严格的逻辑推理，层层逼近，引导学生针对问题积极开展讨论，启发学生联想方程组的表示形式、矩阵按列分块、向量组的线性相关性等知识点并有机串联，加深他们对线性代数课程知识的认识和理解，并引领学生进行严密的推导：
①假设方程组Ax=0中系数矩阵的秩r(A)=r，未知元个数为n，根据基础解系的定义，得出：“Ax=0存在基础解系”即“解集合存在极大无关组”；
②由于非零向量组才存在极大无关组，所以“解集合存在极大无关组”也就是“Ax=0存在非零解”；
③分别记α1,α2,…,αn为系数矩阵A的列向量，则“方程组Ax=0有非零解”等价于“向量方程x1α1+x2α2+…+xnαn有非零解”，即向量组α1,…,αn线性相关；
④由向量组线性相关的判定定理，得出向量组α1,…,αn的秩r小于所含向量个数n；
⑤由矩阵A的秩等于向量组α1,…,αn的秩，得出矩阵A的秩r小于未知元个数n.
显然，以上过程中每一步推导都是可逆的，因此，师生共同得出以上问题的结论.
结论1假设齐次线性方程组的系数矩阵为A(该方程组可记为Ax=0，后续分析中均以这种形式表示齐次线性方程组)，则其基础解系存在的充要条件是系数矩阵A的秩r小于方程组中的未知量个数n.
图1 基础解系存在性分析流程图(r为系数矩阵的秩，n为未知量个数)
针对问题(2)，首先结合本节的学习目的(求齐次线性方程组的通解)，引导学生联想并思考齐次线性方程组通解的两种求解方法(图2)：①利用本节学习的基础解系，通过线性组合得出通解；
②利用前面学习的系数矩阵，通过初等行变换得出通解.
图2 齐次线性方程组系数矩阵、基础解系与通解的关系
启发学生通过类比思考并探索两种方法之间的联系.以上两种方法都可以求出齐次线性方程组的通解，能否利用系数矩阵A(已知)求出方程组的基础解系(未知，需要寻求)？通过PPT流程图动态演示(图3)与板书相结合,边讲边问，以问带学的方式展开分析.
①设系数矩阵A是m×n矩阵，将对应的齐次线性方程组简记为Ax=0(图3中的方程组(Ⅰ)).
②问题(1)的分析中假设了矩阵A的秩为r，所以矩阵A中一定存在r个列向量线性无关(不妨设为前r列).
③对A作初等行变换，化为行最简形矩阵U，将以U为系数矩阵的齐次线性方程组简记为Ux=0(图3中的方程组(Ⅱ)).
④结合消元法原理，启发学生认识并理解：方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)同解，引导他们发现方程组(Ⅱ)的形式比(Ⅰ)明显简化，称之为(Ⅰ)的简化方程组(概念).
⑤引导学生仔细观察并发现方程组(Ⅱ)的典型特征：矩阵A的行最简形U中r个主元所对应的未知量仅出现在所在的方程组，即，xi(i=1，2，…，r)仅出现在第i个方程.
⑥根据⑤中发现的特征，将行最简形U中主元所对应的r个未知量x1，x2，…，xr留在等号左边，其余的n-r个未知量xr+1，xr+2，…，xn移至等号右端，引导学生发现等式左端未知量x1，x2，…，xr的值完全由右端的xr+1，xr+2，…，xn确定，从而引出自由元(不受限制，可自由取值的未知量xr+1，xr+2，…，xn)和非自由元(受限制的未知量x1，x2，…，xr)的概念.
⑦用自由元xr+1，xr+2，…，xn替换非自由元x1，x2，…，xr，得到方程组Ax=0的解向量x的一般形式，并用向量的加法和数乘运算进行分解：
x=xr+1(-c1, r+1，-c2, r+1，…，-cr, r+1，1，0，…，0)T+xr+2(-c1, r+2，-c2, r+2，…，-cr, r+2，0，1，…，0)T+ … +xn(-c1,n，-c2,n，…，-cr,n，0，0，…，1)T.
(1)
引导学生发现上式中等式右端实质上是一个向量组的线性组合形式，并思考：该向量组中的向量是否是方程组的解,及时提醒学生“不忘初心”，牢记问题(2)的“使命”是找出方程组的一个基础解系，加深学生对基础解系概念的理解，认识到基础解系中的向量都是方程组的解，即：先找到一组解向量，如果满足基础解系的定义，那么这些解向量可构成方程组的一个基础解系.
⑧由于自由元xr+1,…,xn可任意取值，所以在(1)式中，令xr+1=1，其余自由元等于零，得到的解恰好是与xr+1相乘的向量.类似地，令xr+2=1，其余自由元等于零，得到的解恰好是与xr+2相乘的向量.依此类推，发现等号右端的n-r个向量都是方程组的解向量，分别记为η1,…,ηn-r，启发学生结合定义思考并发现向量组η1,…,ηn-r是方程组的一个基础解系.
图3 基础解系寻求过程分析流程图(r为系数矩阵的秩，n为未知量个数)
在问题的分析过程中，有效融合多媒体技术与传统板书，并使学生充分参与进来，体现他们在学习中的中心和主体地位，启发引导学生通过观察、联想和深入思考，探索发现知识点之间的紧密联系，学会分解问题，并利用已有知识解决新问题，进而得出问题(2)的结论.
结论2方程组Ax=0的基础解系中含有n-r个向量.
最后采用积零为整的教学方法，合并结论1和结论2得出本节的重要定理.
定理齐次线性方程组Ax=0存在基础解系的充要条件是系数矩阵的秩r小于方程组中的未知量个数n，并且基础解系中含有n-r个向量.
2.2.3 案例与软件结合，助推思政
在对两个重要知识点精讲、细讲的基础上，通过以问带学、边学边问的启发探索式教学方法，引导学生思考线性方程组求解过程中的关键“四个量”(系数矩阵的秩、非自由元的个数、自由元的个数、基础解系中解的个数)的关系，捋顺求解齐次线性方程组的过程.通过对“四个量”关系的探究，变教为诱，变学为思，以诱达思，给学生创设充足的思考空间，让学生充分参与课堂，培养他们严谨的逻辑思维能力和思考问题、解决问题的能力.借助案例式教学，设计典型案例，让学生以个人或小组合作的方式进行课堂讨论，各组派代表通过黑板演示或公开讲解等方式展示案例的求解过程和结构，教师和其他组进行补充和完善.最后，通过多媒体动态展示完整的分析和求解过程，加深学生对重点知识的理解和掌握，提高他们运用所学知识解决问题的能力.
结合新工科建设要求，在注重基本概念和方法讲解的同时，借助实例(方程个数和未知元多，系数大)提出疑问：愚公移山的精神是否有效？在课堂教学过程中融入Matlab软件，进而说明数学软件的强大，让学生了解运用数学软件解决线性代数问题的基本方法，充分运用现代科技手段，有效地将学生从烦琐、复杂的计算中解脱出来.并结合时事政治，通过美国对Matlab、芯片等的封杀政策进行课程思政，引导学生深刻感受到学好强大软件背后的理论知识的重要性.激励学生为振兴祖国科技而努力学习，激发其爱国主义情怀.
最后，师生共同总结本节课的主要内容和知识结构，引导学生从宏观上了解本节知识点之间的联系，理清学习思路.结合本节课“有限”表示“无限”的数学思维方式，启发学生感悟到人虽然是有限的个体，但是只要有坚定的理想信念，一定能够产生无穷的力量.
2.3 巩固拓展式课后线上学习
为激发学生好奇心和求知欲，提高其学习兴趣，在SPOC教学平台上设计思考题：
(1)齐次线性方程组的解满足什么条件可以作为基础解系中的向量？
(2)如何求抽象齐次线性方程组的解？比如，设A为n阶方阵，其每一行的元素之和等于0，且r(A)=n-1，求Ax=0的通解.
(3)非齐次线性方程组的解具有什么性质？解的结构如何？
要求学生根据问题中发现的现象进行思考和探索.同时，设置测试题、讨论题等多种形式，引导、督促学生充分利用碎片时间，以宿舍为单位成立学习小组，通过查阅资料、思考讨论进行知识巩固和拓展，并充分利用线上教学平台讨论区的便利性，及时以音频、视频、图片等形式发布讨论的过程、结果及疑难问题等，有机融合生生讨论、组内讨论、组间讨论、师生讨论等多元学习讨论模式，教师对学生回答完整的问题给予肯定，错误的给予纠正，不完整的补充完善，典型问题以上传音频、图片、短视频等方式进行解答，加强生生、师生之间的良好沟通，使教师充分了解学生的学习状态和效果，并培养学生的自主学习、终身学习能力和团队协作精神，鼓励学生充分利用发布的文献资源多角度思考问题，培养良好学习习惯.
结合SPOC教学平台上学生的预习情况，通过知识回顾和设置疑问引入新知，既保持了知识的连贯性，又让学生对新内容有了整体的把握；
通过辅导员了解学生情况，引导学生换位思考，并认识到以“少”表示“多”的重要性，为后面以“有限”表示“无限”留下伏笔，激发学生好奇心和学习兴趣，使他们产生学习的内在动机；
对于基础解系的存在性、确定方法以及齐次线性方程组解的结构等重难点，采取问题分解与PPT流程图动态演示相结合的方式进行严格的逻辑推理，层层逼近，让学生充分参与进课堂，鼓励学生养成化整为零、化难为易的学习习惯；
在整个课堂教学过程中贯穿“问题驱动式”启发教学，循序渐进地引导启发学生积极思考和探索，提高他们分析问题能力，培养抽象逻辑思维能力，并通过课后线上思考题、测试题等巩固和拓展知识，打通线上线下课堂，多途径构建师生学习共同体，既达到预设知识目标，又能解答学习中“知识抽象、为何而学”的疑惑，使学生深刻体会到数学理论的形成、发展过程，缓解对数学的抵触心理，挖掘学习潜力，提高学习数学的兴趣和自主学习能力，提升数学文化素养，实现能力目标和情感目标.