84个神奇的数学小魔术

篇一：神奇的空洞(数学中的小魔术)

神奇的空洞

在菁英教育徐汇校区的墙上有着一副有趣的图，一个由四部分组成的三角形经过重新组合后总的大小不变，可是却多出了一个神奇的洞。

徐汇校区墙上的益智图片

每次看到这张图，我就会想起，当我念初中的时候，也和同学做过类似的试验：我们把一个正方形分割后重新组合，居然也多出了一个洞。下面就先把我和同学的发现告诉大家。

把正方形分割成7?7?49个小方格后，按图1的样子将其再分成五个部分，然后重新组合，形成图2的摆放形式。经过这样重新调动与组合，怪事出现了，图2的中间竟然露出了一个空洞。也就是说，有一个小方格竟然莫名其妙地失踪了。

C

AB

图1 图2

实际上，这不过是一个小魔术，图2并不是一个真正的正方形。我们可以假定图1中小正方形的边长为a，因为?ADE∽?ABC，所以DEAD?，已知AB?7a，AD?4a，BCAB

BC?2a，求得DE?836a，从而EF?a，这样一来，图2中右边的总边长就成了77

3650a?2a?a，与最一开始的7a长度并不相符。但由于只是长了一些，肉眼很难分辨77

出来而已。而图2的宽度仍然是7a，这说明图2其实是个长方形，与图1相差的面积为50a?7a?7a?7a?a2，这就是神秘失踪的那个小正方形。换句话说，图2实际上比图17

的面积稍大了一些，减去中间的那个空洞的部分，两者就完全一致了。

现在徐汇校区墙上的那张益智图片你有答案了吗？没错，上方图中的绿色三角形两条直角边的边长之比为5:2，而红色三角形两条直角边的边长之比为8:3，这说明图中的几何形状并不是真正的直角三角形，只是单凭肉眼分辨不出而已。因此它被重新组合后会出现一个神奇的空缺。

在明白了上述两个欺骗眼睛的游戏后，我再附上一个有趣的图，大家不妨自己动手做做。请你把图上8个区域的面积算一算，求出它们的总和，但请注意，先别把小洞的面积算进去。

16

4

6

6S1?242211669 11?20?16?2??6?10?2?6?9?2?11?4?416，现在再来算一下这个等22

1腰三角形的面积，S2??32?26?416。两个面积的值居然一样，换句话说，中间的小2

洞形同虚设？试着用前面两个例子的方法想一想，也许你就能自己拆穿这个西洋镜了。

篇二：一个简单的数学小魔术

一个简单的数学小魔术matrix67 2010-11-19 13:38:51在一张纸上并排画 11 个小方格。叫你的好朋友背对着你（确保你看不到他在纸上写什么），在前两个方格中随便填两个 1 到 10 之间的数。从第三个方格开始，在每个方格里填入前两个方格里的数之和。让你的朋友一直算出第 10 个方格里的数。你便能轻易预测出下一个数是多少。在一张纸上并排画 11 个小方格。叫你的好朋友背对着你（确保你看不到他在纸上写什么），在前两个方格中随便填两个 1 到 10 之间 的数。从第三个方格开始，在每个方格里填入前两个方格里的数之和。让你的朋友一直算出第 10 个方格里的数。假如你的朋友一开始 填入方格的数是 7 和 3 ，那么前 10 个方格里的数应该是73101323365995154249现在，叫你的朋友报出第 10 个方格里的数，你只需要在计算器上按几个键，便能说出第 11 个方格里的数应该是多少。你的朋友会非 常惊奇地发现，把第 11 个方格里的数计算出来，所得的结果与你的预测一模一样！这就奇怪了，在不知道头两个数是多少的情况下， 只知道第 10 个数的大小，不知道第 9 个数的大小，怎么能猜对第 11 个数的值呢？魔术揭秘：只需要除以 0.618其实，仅凭借第 10 个数来推测第 11 个数的方法非常简单，你需要做的仅仅是把第 10 个数除以 0.618，得到的结果四舍五入一下就 是第 11 个数了。在上面的例子中，由于 249÷0.618 = 402.913.. ≈ 403，因此你可以胸有成竹地断定，第 11 个数就是 403。而事 实上，154 与 249 相加真的就等于 403。把头两个方格里的数换一换，结论依然成立：291120315282133215348可以看到，第 11 个数应该为 215+348 = 563，而 348 除以 0.618 就等于 563.107..，与实际结果惊人地吻合。这究竟是怎么回事儿 呢？

魔术原理：溶液调配的启示不妨假设你的好朋友最初在纸上写下的两个数分别是 a 和 b 。那么，这 11 个方格里的数分别为：aba+ba+2b2a+3b3a+5b5a+8b8a+13b13a+21b21a+34b34a+55b接下来，我们只需要说明，21a+34b 除以 34a+55b 的结果非常接近 0.618 即可。让我们来考虑另一个看似与此无关的生活小常识：两杯浓度不同的盐水混合在一起，调配出来的盐水浓度一定介于原来两杯盐水的浓度 之间。换句话说，如果其中一杯盐水的浓度是 a/b，另一杯盐水的浓度是 c/d，那么 (a+c)/(b+d) 一定介于 a/b 和 c/d 之间。因此，(21a+34b)/(34a+55b) 就一定介于 21a/34a 和 34b/55b 之间。而 21a/34a = 21/34 ≈ 0.6176，34b/55b = 34/55 ≈ 0.6182， 可见不管 a 和 b 是多少，(21a+34b)/(34a+55b) 都被夹在了 0.6176 和 0.6182 之间。如果 a 和 b 都不大，用 21a+34b 的值除以 0.618 来推测 34a+55b 是相当靠谱的。有的读者可能已经发现了，0.618 不是别的数，正是神秘的黄金分割；而上表中出现的系数 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … 正 是传说中的斐波那契数列。算术中最富神秘色彩的两个概念在此交织，看来这个简单小魔术的来头并不简单啊。

篇三：2个超神奇的数学魔术揭秘

1 欺骗眼睛的几何问题

生活中我们常常相信亲眼所见，但又常常为自己的眼睛所骗，魔术就是一个很好的例子。数学中也有这种欺骗我们眼睛的奇妙的数学魔术，我们先看一个问题：

问题1：在下面的两个图形中，如果将图1中的四块几何图形裁剪开来重新拼接成图2，我们会发现，与图1相比，图2多出了一个洞！这怎么可能呢？我们自然会提出这样的疑问。奥妙何在我们姑且按下不表，让同学们先动动脑子！

上面的题目有些复杂，下面我们来看一个简单一些的问题。

问题2：将图3中面积为13×13=169的正方形裁剪成图中标出的四块几何图形，然后重新拼接成图4，计算可知长方形的面积为8×21＝168，比正方形少了一个单位的面积，非常不可思议，这是为什么呢？

这两个问题是这样的令人惊奇和难以理解，值得我们花费一些时间动手按照所说的剪裁方法做一做。

我们先

来分析一下

问题2：我们

在白纸上将

正方形量好

画出，剪成四

块，重新安排后拼成长方形，除非图形做得很大并且作图和剪裁都十分精确，我们一般是不会发现拼接成的长方形在对角线附近发生了微小的重叠，正是沿对角线的微小重叠导致了一个单位面积的丢失。

要证实这一点我们只要计算一下长方

形对角线的斜率和正方形拼接各片相应边的斜率，比较一下就会清楚了。

问题2中涉及到四个数据5、8、13和21，有一定数学基础的同学会认出这是著名的斐波那契数列中的四项，斐波那契数列的特征是它的每一项都是前两项之和：1，1，2，3，5，8，13，21，34，??。我们还可以使用这个数列中的其他相邻四项来试验这个过程，无论选取哪四项，都可以发现正方形和长方形的面积是不会相等的，有时正方形的面积比长方形多一个单位面积，有时则正好相反。多做几次上述实验，我们就会得出斐波那契数列的一个重要性质：这个数列任意一项的平方等于它前后相邻两项之积加1或减1。用公式表示就是：fn2?fn?1?fn?1?1。其中fn2表示正方形的面积，fn?1?fn?1表示长方形的面积。知道

了这个事实，我们就可以自己构造类似于问题2的几何趣题。

上面的这个斐波那契数列是以1，1两数开始的，广义的斐波那契数列可以从任意两数开始。比如说，用广义斐波那契数列2，2，4，6，10，16，??做上述试验，就会多得或丢失四个单位的面积。如果用a、b、c表示广义斐波那契数列的相邻三项，以x表示“得”或“失”的数字，则下列两式成立：?a?b?c 。我们还可以来研究这样一个有趣的问题：把正方形按上述方法剪?2?b?ac?x

成四块，是否会拼接成一个与它面积相等的长方形？要回答这个问题，可以令方程组中的x

等于零，再解之得唯一正解是：b恰是著名的?

a黄金分割比，通常用来表示，它是一个无理数，等于1.618033??。这就是说，唯一的每项平方等于前后相邻两项之积的斐波那契数列是：1，?，?2，?3，?4，??。要证明它的确是斐波那契数列，只要证明它等价于数列1，?，?+1，2?+1，3?+2，??就可以了。只有用这个数列相邻项数表示的长度来分割正方形，才可以拼出面积不变的长方形。

我们再回到问题1，题中涉及到的数据1，1，2，3，5，8，13恰是斐波那契数列的前七项，因此问题1实际上是问题2的一个复杂化版本，计算一下图中两个大小三角形斜边的斜率，那么一开始的疑问已不讲自明。

最后再给喜欢思考的同学提出一个与前两个问题略有不同的问题 3，图5这个正方形按图中标出的数据分割成了五块几何图形，剪开后重新拼接成图6，奇怪，又多出了一个洞！这次斜线处并无叠合，少掉的一个单位面积哪里去了呢？这个问题最初是由美国魔术师保罗?卡瑞提出的，虽然它曾经难倒了许多美国人，但相信它难不倒聪明的中国学生。为帮助大家思考，提示一下：不要忘了计算！

最后送给大家一句华罗庚教授的话：“数缺形时少直观，形少数时难入微”。

2 揭秘排队返现网的数字骗局

作晚朋友打电话给我，问我关于排队返现网的操作模式。我之前并不知道排队网的模式，我以为跟返利网一样，淘宝返利10%给网站，网站再返利5%给消费者。朋友说不是这样的，是消费100返现100，我说不可能，中间肯定有猫腻，于是上午花了一个小时，做了一回数学题，搞懂了他们的骗局模式。 按说作为一个互联网从业者，去揭秘这种事是很不地道的，但是我相信大家都是聪明人，迟早都会明白是怎么回事。

排队返现网站给出的规则是这样的。你去网站的联盟商家买东西，满100元，再送你100元的返现券，然后你拿着返现券去网站排队等返现。关键就在于这个排队上，规则是每新增加20（有的网站是15）个排队号，20个前面的一个排队号就可以返现。如你的排队号是1，那么总排队号到20的时候，你就能返现；如你的排队号在10，那得等到总排队号到200，才轮到你返现。

网站怎么赚钱呢，商家给你的100元返现券（网站出钱返给你），这个券是商家向网站购买的，目前大多网站是收15元/100元返现券，相当于商家打了8.5折。

也许你会觉得，排队返利网站只收入了15元，却给消费者返了100元，它不是尽亏85元吗？理论是这样的，可是事实上不是。它的模式就像前几年出现的非法融资模式，理论上它是巨额亏损，实际上它手上钱越来越多。下面我们就来分析这个数字骗局：

排队返利网每出售20张返现券，才会返100元出去，算下：20X15元=300元，减去100元，剩下200元在手上。如果网站运营不错的话，每10分钟出去一张100返现券，那么每小时出6张，每天按12小时算，每天出72张*15元=1080元，再减去给用户返现的，按4位算，即减去400元。每天收入680元，每月收入20400，不错的收入。

按照上述的假设，来看看排队的奥秘。假如你的排队号是1，那么总排队号到20，你就可以返利，那么你当天就可以等到返利；排队号是10，那你得等到总排队号到200，即第三天返利；排队号是100，总排队号要到2000，要等到一个月后；排队号到1000，总排队号要到20000，等到返利差不多277天；排队号

在10000，总排队号要到20万，你得等到4年后才能返现；要是你排在了10万名的话，恭喜你，你要等到77年后……由你的儿子帮你去领返现吧。

在等待排队的朋友，你去看看你的排队号是多少吧？随便搜了一个北京的排队拿网站，目前的排队号是3900多，如果你现在加入的话，拿到返现的时间是在3年后。

现在你知道了，网站上说消费100，返现金100，不是那么容易拿到的。

篇四：数学小魔术

二进制计数法

正常情况下，数字 12 可以写成 1×10 + 2×1，其中

1 是十位数字，2 是个位数字。如果这个数字更大，还会有百位、千位等等。这些数位的单位从小到大分别是 1、10、100、1000??

可是我们还可以用另一种方式来表示一个数，就是魔术师所用的方式——二进制。在二进制中，12 = 1×8 + 1×4 + 0×2 + 0×1，在这里，数位的单位由 1、10、100、1000 变成了 1、2、4、8，同时每个数位上的数字也由 0 到 9 十种变为了 0 和 1 两种，12 也就可以用 1100 来表示了。卡片 A、B、C、D 分别是从小到大的 4 个数位，由于 12 号星座——双鱼座——的二进制表达是 1100，因此双鱼座就只在卡片 C 和 D 上出现。在四张卡片上指认星座的时候，你也就把星座对应的数字的二进制表达偷偷泄露给了魔术师，如果你告诉魔术师有，就相当于告诉他了那一位数字是 1，反之，那一位数字就是 0。 二进制的用途非常广泛。计算机正是像这位魔术师一样，用二进制来表示各种数字。

2、进阶版：泡MM，没有缘分也要制造缘分

在泡 MM 的时候，只问出她的星座是远远不够的，最关键的是要让 MM 知道你们俩心有灵犀，这样才能真正赢得她的芳心。这一次，我们再来一个进阶版的魔术。

首先，把一副扑克牌中的大小王和四个 K 去掉，这样 54 张牌就只剩下 48 张了。

把这

48 张牌交给

MM，让她洗一洗牌。然后，把洗过的牌在桌子上正面朝上一字摊开。

“现在，我要用我的心去选一张我最喜欢的牌”，你可以说，“就这一张了，黑桃 5。” 然后把这一张牌抽出，背面朝上放到一边。

把剩下的牌重新收起来，对 MM 说：“你用你的心来感知这一叠牌的一半数量，把它们拿起来放到你手里吧。”等 MM 拿好牌后，你说：“你准确地知道手里有多少张牌吗？”MM 没有数过，自然不会知道。“我也不知道。整副牌现在有 47 张，你手里可能有 22 张、23 张或者更少；如果你刚才手狠了一点，手里可能会有 24 张、25 张或者更多。不过无论如何，如果这副牌象征着你和我的爱情，那么你拿走的一半就象征着你的心，这一切都是上帝的安排。”

下一步，要求 MM

把这叠牌背面朝上握在手里，从第一张牌开始，交替地把手里的牌分成左右两堆：

第一张牌背面朝上放到左边，第二张牌正面朝上放到右边，第三张背面朝上放在第一张牌上，第四张牌正面朝上放到第二张牌上……等到手里的牌全部分完后，拾起那叠正面朝上的牌，翻过来，再像刚才那样，分成背面朝上和正面朝上的两叠。然后再拿起正面朝上的那一叠，不断继续下去。到最后，MM 手里就只剩下一张牌了。

此时你把魔术最开始的时候抽出的那张牌拿出来：“我用我的心做出的选择和你用你的心做出的选择是一模一样的。”

魔术揭秘

这个魔术的关键在于，开始的时候，“我要用我的心去选一张我最喜欢的牌”，的确要“用心选择”——要“别有用心”地选择。首先，看清楚从左到右数第 16 张牌是什么牌，然后在 16 张之后的牌中选择一个和那张牌数字相同的（其他的三个 5 全部集中在前 15 张的可能性不大，如果出现了，就再洗一次牌吧）。

只要

MM

拿起的牌是在

16

张到

31

张之间（不必正好一半），魔术就会成功。把这半

副牌左一张右一张分成两部分的过程可以这样来理解：

将整副牌自上而下编号

（牌是背面朝上的），所有编号为偶数的牌会被分到右边那一堆。也就是说，牌的编号被 2 除时，余数是 0 的牌就会被归到右边。进行第二轮分牌的时候，所有第偶数张牌会被归到右边，这些牌就是初始序号连续除以两次 2 都余 0 的牌。分了四次以后，在小于等于 31 的数字里，连续除以四次 2 余数都为 0 的只有 16。也就是说，不管 MM 拿了多少张牌，只要牌数在 16 到 31 的范围内，最后她手里剩下的那张牌一定是整副牌里的第 16 张。下面这张表格以 MM 手中有 24 张牌为例，详细说明了四次分牌的过程：

和猜星座的魔术一样，这个魔术与二进制也有关系。16 用二进制表示是 1000，后面三位都是 0；在 1 到 31 的数字里，这是独一无二的。看来，二进制不仅是计算机程序猿们必须要知道的知识，在勾引 MM 领域也是大有用途的。

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数学魔术系列之哄MM，轻松表达“我爱你”Comments>>

| Tags 标签：原创, 奇偶, 数学魔术 Albert_JIAO 发表于 2011-05-25 11:48

当死理性派遇到感情危机，被MM幽怨地问“你爱我吗”的时候该怎样回答？作为一个死理性派，当然要运用高级的数学工具来化解这场爱情危机，具体这么做呢？那么就来看这个表白数学魔术。

死理性派的爱情，大多崎岖。在你如痴如醉地专研各种科学问题、

技术难点的时候，总是难免冷落旁边的mm，于是不可避免的，你将面临这样一个幽怨的问题：你爱我吗？多数时候，这将演变为一个洒狗血的场面，不是男默女泪，就是男咆哮女胡闹。但是作为一个死理性派，自然不可能被这种问题难倒，这时我们只需说一句：“上天将证明我对你的心意，不信我们就来试试吧。”

然后我们用一些白纸制作出16张卡片，在这些卡片上一半写上自己的名字一半写上mm的名字，比如“李雷”和“韩梅梅” 。然后让mm在这些卡片的背面，写上“爱”或者“不爱”，可以随便写，全看mm的意愿。写完后把所有的卡片弄乱，混在一起。

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