含有偏好的DEA-BWM评价方法研究
于 娱, 朱卫未, 施琴芬
(1.南京审计大学 商学院,江苏 南京 211815; 2.南京邮电大学 高质量发展评价研究院信息产业融合创新与应急管理研究中心,江苏 南京 210023; 3.江苏科技大学 经济与管理学院,江苏 镇江 212003; 4.苏州科技大学 商学院,江苏 苏州 215009)
数据包络分析(DEA)是一种用于评估决策单位(DMU)相对效率的数据驱动技术。在传统的DEA模型框架中，输入和输出的权重是通过最大化加权输出之和与加权输入之和的比值来确定的，并且保证所有决策单元的比值不能大于1，其中最大比值定义为效率值。从传统的CCR模型可以看出，它允许每个DMU仅使用对自身最有利的权重来测算效率。换句话说，每个DMU灵活选择最有利的权重方案来追求其自身的最大效率。而这种权重选择的灵活性也可能导致部分DMU在追求自身效率最大化时，部分输入或者输出的权重可能存在极端值，如权重为0或者为某一极值，使得权重缺乏合理性和可操作性。因此在实际应用中，决策者往往根据实际需要，对权重施以一定约束[1,2]。
最优最差方法(Best-Worst Method, BWM)作为一种新的基于判断矩阵确定决策偏好排序的一种多指标决策方法[3]。该方法2015年由Rezaei提出，决策者首先确定最优和最差准则后，将其余准则与最优和最差准则进行两两对比，进而得到比较矩阵，从而确定各准则的偏好排序。目前BWM方法已被广泛应用于相关领域[4]。Chen等将BWM方法应用到DEA评价中[5]。但该研究只是独立地运用BWM方法，在得到相关准则确定权重后，再运用到相关DEA分析中，而未有效地将BWM方法中对权重偏好约束嵌入到DEA模型。Omrani等[6,7]尝试将BWM权重约束嵌入到DEA模型中，但该模型在使用之前，需要首先求得传统的DEA模型效率值，在保证效率值不变的基础上，满足BWM模型权重限制。而DEA方法的优势在于运用DEA时，除去原始输入输出数据信息之外，无需更多信息即可对决策单元进行评价排序。
因此本研究将在保持传统DEA方法优势基础上，考虑决策偏好，将BWM模型中对准则权重偏好约束嵌入到DEA模型中，基于不同情形的DEA权重约束，构建多个考虑决策偏好的DEA-BWM评价模型。最后，将构建的DEA-BWM模型应用于某一案例，以验证方法的有效性和先进性。
1.1 数据包络分析
假定有n个被评估决策单位(DMUs)，每个DMU使用m种不同数量的输入来产生s种不同数量的输出。具体来说，DMUj消耗Xj={xij}(i=1,…,m)的输入，生产Yj={yrj}(r=1,…,s)的输出。Charnes和Cooper提出了一个经典的DEA模型(简称CCR模型)来衡量第k个DMU的效率:
vi,ur≥0,?i,r
(1)
其中ur和vi分别是输出和输入指标的权重，yrk和xik分别表示输出量和输入量，DMUk表示被评估决策单元。每一个被评估的DMU通过寻找最优权重实现最高的效率值。
1.2 最优最差方法
最优最差方法(Best Worst Method，BWM)基于成对比较的思想，但为了避免任意准则两两比较过程中较难确定偏好程度和准则间的比较不一致性，而构造一种全新的比较方式，具体操作步骤如下：
(1)确定准则集合{c1,c2,…,cn}。
(2)确定最优准则cB和最差准则cW。
最优准则是指在准则集合中，决策者认为最重要或最关键的准则，反之最差准则是指决策者认为最不重要或最不关键的准则。
(3)确定最佳准则与其余所有准则对比标度值αB={aB1,aB2,…,aBn}。
通过将最优准则cB与准则ci进行对比，确定偏好程度，并用aBi表示最优准则cB与准则ci的对比标度值，一般情况下用1-9标度表示，其中aBB=1。
(4)确定其余所有准则与最差准则对比标度值βW={β1W,β2W,…,βnW}。
通过将准则ci与最差准则cW进行对比，确定偏好程度，用βiW表示准则ci与最差准则cW的对比标度值，其中βWW=1。
Rezaei在2015年提出的非线性BWM方法的基础上，构建了线性BWM方法[8]，用于求解最优权重，见模型(2)：
minξ
|vB-αBjvj|≤ξ,?j
|vj-βjWvW|≤ξ,?j
vj≥0,?j
(2)
ξ表示准则权重一致性系数，若该值越小，则表示各准则权重的一致性越高。Rezaei证明模型(2)存在唯一最优解。
根据上述可知，目前现有研究的未能有效地将BWM模型嵌入到DEA模型中，因此，下文将基于最优最差方法(BWM)，构建改进的DEA-BWM模型。
2.1 CCR-BWM模型
CCR模型作为DEA方法的基础模型，同时为了便于将构建的DEA-BWM模型拓展到其他DEA模型中，本节以CCR模型为基础，考虑决策偏好，将BWM方法中权重限制约束嵌入到CCR模型中，构建如下CCR-BWM模型:
(3)
模型(3)中目标函数1和约束条件1为传统CCR模型中目标函数和约束条件。目标函数2和约束条件2、3为了保证输入指标的权重比与标度值之间的差异最小，同样目标函数3和约束条件4、5为了保证输出指标的权重比值与标度值之间的差异最小。约束条件5是取自BWM方法中对权重和的约束，同样不失一般性，本模型中同样设定输入和输出权重之和为1。
(4)
多目标线性规划有多种求解方法，本模型采用min-max方法进行求解。根据min-max方法，可以将模型(4)转换为以下单目标线性规划:
(5)
minηk
(6)
由于BWM线性模型具有解的唯一性，因此模型(6)存在唯一最优解。通过上述求解可以发现本模型无需提前运用相关DEA模型计算各DMU效率值，无需任何除原始数据外的先验信息，而是直接根据DEA基本原理，并考虑决策偏好，对DMU进行评价决策。
2.2 CSW-BWM模型
传统DEA模型中各DMU选择不同的最优权重最大化自身效率值，这种权重选择的灵活性导致各DMU之间无法在相同基础上进行比较和排序。针对DEA绩效评估过程中存在的这一问题，相关学者提出DEA公共权重(Common Set of Weights, CSW)概念来解决这一问题[9～12]。同样目前现有公共权重研究未能考虑决策偏好，导致部分公共权重值无实际管理意义。本节将借鉴Liu等[13]的思想，构建基于BWM的CSW-BWM模型，来寻找一组公共权重，使得各DMU的公共权重的效率值距共同基准水平值1的距离最小。具体模型如下:
minξ1
minξ2
(7)
minη
(8)
由于BWM线性模型具有解的唯一性，因此模型(8)存在唯一最优解。
2.3 NCE-BWM模型
传统的DEA模型中，各DMU选取一组最优权重来最大化自身效率值，但该权重只对被评价DMU自身有利，容易形成夸大长处，回避缺陷，形式自评为主的氛围，产生表面上DEA有效，但在互评中却处于不利地位的伪有效。针对这一现象，Doyle等提出交叉效率模型[14]，该模型通过构建DEA自评和互评模型得到交叉效率矩阵，然后对矩阵进行集结，最终得到各DMU的交叉效率值。同时为了避免由于最优权重不唯一，导致交叉效率的不唯一，提出了仁慈型和激进型两种交叉效率模型。Wang等提出一种中立型交叉效率(Neutral Cross Efficiency, NCE)模型，认为当某DMU选择权重时，往往最关心的是如何使得权重尽可能有利于自己，而不在意其对其他DMU是仁慈的还是激进的[15]。本节将基于Wang等提出的中立型交叉效率模型，考虑决策偏好，构建NCE-BWM模型。具体模型如下:
maxδk
urkyrk-δk≥0,?r
(9)
约束条件1是在确保DMU的CCR-BWM效率值不变的情况下，确定权重的可行域空间。约束条件2是保证各DMU的效率值不超过1。目标函数1和约束条件3来源于Wang等提出的中立型交叉效率模型，表示DMU寻找一组权重使得自身效率最大的同时，也使得各项输出尽可能达到最有效状态。该权重选择方式仅从自身中立角度出发，不考虑是否最大化还是最小化其他DMU的效率值，使得决策者无需在仁慈型或激进型两者间作两难选择。目标函数2～3和约束条件4～8来源于BWM模型。此处同样采用min-max方法将模型转换为单目标线性规划模型，如下:
minηk
urkyrk-δk≥0,?r
(10)
本节通过一个算例来证明本研究提出的模型的有效性。我们选取Omrani等[6]中的数据作为算例。该数据包含四个输入和三个输出。决策者关于输入和输出指标的偏好重视程度如表1和2所示。对于输入指标，决策者认为X1最重要“最优”输入，X4为“最差”输入。如果将输入指标权重看成输入的成本，则“最优”输入可以理解为高成本的原材料输入，“最差”输入可以看成低成本的原材料输入，决策者往往对于高成本的原材料输入更为重视。将其他输入指标与最优和最差输入进行对比，标度值如表1所示。同样对于输出指标，决策者认为Y1是“最优”输出，Y2为“最差”输出，同样如果将输出指标权重看成输出的收益，则“最优”输出可以理解为高收益的产品输出，“最差”输出可以看作低收益的产品输出，决策者往往对于高收益的产品输出更为重视。其他输出与最优和最差输出两两对比标度值，如表2所示。
表1 最优和最差输λ对比标度值
表2 最优和最差输出对比标度值
首先运用传统的CCR对17个DMU进行评价，结果见表3第2列。我们可以发现17个DMU中有9个DMU的效率值为1，均为有效DMU，很难进一步区分。而且传统CCR模型未能考虑决策者对相关指标的偏好和重视程度。当决策者对Y1输出指标和X1输入指标相对于其他指标更加重视时，运用本文构建的CCR-BWM模型对各决策单元进行评价，计算结果如表3第3列所示。可以发现与传统CCR模型相比，CCR-BWM模型相比于传统CCR模型，能够对决策单元的有效性程度加以区分。表3第3列为各DMU的CCR-BWM模型效率值，可以仅DMU1效率值为1，为有效DMU，其他DMU效率值均小于1，如DMU2在传统CCR模型下的效率值为1，而利用CCR-BWM模型可得其效率值为0.9750。
表3 四种模型计算结果
CCR-BWM模型虽然考虑了决策者对输入输出指标的偏好，但各DMU仍然灵活选择最有利的权重来最大化自身效率值，使得各DMU无法在统一基础上进行比较。利用本文构建的CSW-BWM模型来解决该问题。运用CSW-BWM模型评价结果见表3第4列。各DMU在相同的权重基础上进行比较，可以发现DMU1、3和5三个决策单元达到有效，其他DMU的效率值小于1，与传统CCR模型相比，CSW-BWM模型也进一步提高了辨别能力。
另外考虑CCR-BWM模型中由于自评可能导致部分DMU存在伪有效状态，因此构建DMU在中立状态下同时兼顾自评和互评的NCE-BWM交叉效率模型。该模型计算结果见表3第5列，可以发现NCE-BWM效率值均小于1，且全部小于CCR-BWM模型，说明NCE-BWM模型能够较为有效对各DMU模型进行评价，并能够有效地提高模型的辨别能力。
通过对表3中四种模型的计算结果对比分析发现，由于传统的CCR模型未考虑决策者关于输入输出指标权重的偏好问题，因此权重空间大于其他三个模型，表3中可以发现，各DMU的CCR效率值全部大于其他三种效率值。CSW-BWM模型避免了各DMU在不同权重基础上难以客观比较的问题，部分DMU在公共权重基础上无法灵活选择有利于自身的权重而导致效率值与原CCR效率值和CCR-BWM效率值均有较大降低，如DMU6、9、11、13和16。NCE-BWM交叉效率模型也避免了DMU自评时夸大长处，各DMU的效率值均小于CCR效率值且小于CCR-BWM模型效率值。另外对于CCR模型中被评价为有效的9个DMU，CSW-BWM模型和NCE-BWM模型均能对其进行有效地区分。
最优最差方法(BWM)作为一种新的基于判断矩阵确定决策偏好排序的一种多指标决策方法，能够有效考虑决策者对指标准则的偏好程度。传统的CCR模型在实际应用中，未能考虑决策者对相关指标的重视和偏好程度。因此，本研究在保持传统DEA方法优势基础上，考虑决策偏好，将BWM模型中对指标权重偏好约束嵌入到DEA模型中，并基于不同情形的DEA权重约束，分别构建了CCR-BWM评价模型、CSW-BWM公共权重模型和NCE-BWM中立交效率模型。本研究是以经典的CCR模型为基础，在下一步研究中可以将模型拓展到其他DEA模型中。另外由于在本研究中没有考虑DEA模型中的非期望变量和网络结构，未来将在本模型中加入非期望变量，并进一步将模型拓宽到网络结构的DEA模型中。此外未来还将模型应用到无输入变量的评价中，构建综合指标模型。
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