3.6带电粒子在匀强磁场中运动导学案(教师)（7页）
3.6 《带电粒子在匀强磁场中的运动》 导学教案
预习案
【教学目标】 一、知识与技能
根据洛伦兹力的特点，理解带电粒子垂直进入磁场做匀速圆周运动；
会推导带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径、周期公式，并用它们解答有关问题。
知道质谱仪、回旋加速器的基本构造、工作原理及用途。
结合运动和力的关系分析原因，总结规律，积极思考、讨论例题，对规律加深理解、提高应用能力。最 后通过例题讲解，加深知识的理解。
三、情感态度与价值观 通过观察演示实验认识并验证带电粒子在匀强磁场中的受力情况， 借此培养学生观察能力、 分析问题的能力； 引导学生用分析、猜想、实验(观察) 、理论验证的科学方法探求新知识，增强他们的能力。
【教材导读】 本节重点是研究带电粒子垂直射入匀强磁场中的运动规律和洛仑兹力的应用。通过复习相关 力学知识，利用力与运动的关系判断出粒子做的是匀速圆周运动，进而推导出圆周运动的半径和周期等；洛 仑兹力在各方面有广泛的应用，从定性方面多介绍一些洛仑兹力的应用对开阔学生思路很有好处。
【预习自测】
带电粒子在匀强磁场中的运动：
带电粒子的运动方向与磁场方向平行：做 运动。
带电粒子的运动方向与磁场方向垂直：粒子做 运动且运动的轨迹平面与磁场方向 。轨
道半径公式： 周期公式： 。
质谱仪 是一种十分精密的仪器，是测量带电粒子的 和分析 的重要工具。
回旋加速器：
(1)使带电粒子加速的方法有：经过多次 直线加速；利用电场 和磁场的 作用，回旋 速。
(2) 回旋加速器是利用电场对电荷的加速作用和磁场对运动电荷的偏转作用，在 的范围内来获得
的装置。
为了保证每次带电粒子经过狭缝时均被加速，使之能量不断提高，要在狭缝处加一个 电压，产生 交变电场的频率跟粒子运动的频率 。
⑷带电粒子获得的最大能量与 D 形盒 有关。
【学情分析】 教材对带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的分析、讨论比较详细，所需要的知识学生前 面都已学过。我们可考虑让学生通过自学、讨论的方式来掌握教材内容，这有利于培养学生独立思考能力。
带电粒子做圆周运动的演示实验效果很好，为了引导学生深入理解教材内容，可提出一些问题供学生思考、 讨论。
【教学重难点】 重点：带电粒子垂直射入匀强磁场中的运动半径和运动周期。
难点：带电粒子垂直射入匀强磁场做匀速圆周运动的成因。
【提出困惑】 【信息链接】中国自主研制的第一台生产放射性同位素的回旋加速器 中国自主研制的第一台生产放射性同位素的回旋加速器， 1996年 5 月 9日通过了国家计委的验收。
这表明我
国的回旋加速器研制技术跨进了 90 年代国际先进水平。当天验收的“强流质子回旋加速器及生产中、短寿 命同位素装置”，是中国原子能科学研究院研制成功的。据了解，加速器研制技术在世界高科技领域是一个 竞争的重点。而加速器生产的缺中子同位素，能广泛地应用于工业、农业和医药业，在核反应堆里是生产不 出来的。
探究案
一 、带电粒子在匀强磁场中的运动：
思考 1、当带电粒子 q以速度 v 垂直进入匀强磁场中粒子受到怎样的力的作用？对粒子的运动有什么作用？ 思考 2、带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨道半径及周期公式推导
问题情境：一为带电量 q，质量为 m , 速度为 v 的带电粒子垂直进入磁感应强 度为 B的匀强磁场中，其半径 r 和周期 T 为多大？如图所示。
推导：粒子做匀速圆周运动所需的向心力是由粒子所受的洛伦兹力提供的， 所以
qvB=
由此得出
r= ①
2r
由周期 T=
v
代入①式得
T=
、质谱仪： （发明人阿斯顿） 质谱仪又称质谱计。分离和检测不同同位素的仪器。即根据带电粒子在电磁场中能够偏转的原理，按物质原 子、分子或分子碎片的质量差异进行分离和检测物质组成的一类仪器。
【发明人介绍】阿斯顿是英国物理学家，他长期从事同位素和质谱的研究。
他首次制成了聚焦性能较高的质谱仪，并用此来对许多元素的同位素及其丰 度进行测量，从而肯定了同位素的普遍存在。同时根据对同位素的研究，他 还提出了元素质量的整数法则。因此他荣获了 1922 年的诺贝尔化学奖。
【相关例题】如图所示，一质量为 m，电荷量为 q 的粒子从容器 A下方小孔
S1飘入电势差为 U的加速电场，然后让粒子垂直进入磁感应强度为 B 的磁场
中，最后打到底片 D上 .
（1） 粒子进入磁场时的速率。
（2） 求粒子在磁场中运动的轨道半径。
解：（1）粒子在 S1区做初速度为零的匀加速直线运动 . 由动能定理知，粒子在电场中得到的动能等于电场对 它所做的功，即
12
mv2 由此可得 v= .
2
qvB=2
qvB=
所以粒子的轨道半径为 r=
三 、回旋加速器： （发明者劳伦斯）
回旋加速器的工作原理如图所示．放在 A0 处的粒子源发出一个带正电的粒子，它以某一速率 v0垂直进
入匀强磁场中，在磁场中做匀速圆周运动．经过半个周期，当它 沿着半圆 A 0A1到达 A 1时，我们在 A 1A 1′处设置一个向上的电场， 使这个带电粒子在 A 1A1′处受到一次电场的加速， 速率由 v0增加 到 v1 ，然后粒子以速率 v1 在磁场中做匀速圆周运动．我们知道， 粒子的轨迹半径跟它的速率成正比，因而粒子将沿着增大了的圆 周运动．又经过半个周期， 当它沿着半圆弧 A 1′A2′到达 A2′时， 我们在 A2′A2 处设置一个向下的电场， 使粒子又一次受到电场的 加速，速率增加到 v2.如此继续下去，每当粒子运动到 A1A 1′、
A 3A3′等处时都使它受到一个向上电场的加速，每当粒子运动到 A 2′A 2、A4′A 4等处时都使它受到一个向下电场的加速，那么，
粒子将沿着图示的螺线回旋下去，速率将一步一步地增大．
疑难解惑】 回旋加速器中，随着粒子的运动越来越快，也许粒子走过半圆的时间间隔越来越短，这样两盒 间电势差的正负变换就要越来越快，从而造成技术上的一个难题．实际情况是这样吗？
解析 不是这样．回旋加速器中，两 D 形盒盒缝宽度远小于盒半径，粒子通过盒缝的时间就可以忽略，
2
2
这样粒子走过半圆的时间间隔为粒子运动周期的一半，即 Δt＝T＝ 1·2πm＝ πm，与粒子运动的速率无关，因
2 2 qB qB 此，只要使所加交变电场的周期与带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期相同 （T＝ 2πm），就可以保证
qB 粒子每经过盒缝时都正好赶上合适的电场方向而被加速 .
【当堂检测】
TOC \o "1-5" \h \z 运动电荷进入磁场后 （无其他作用 ）可能做 （ ）
A ．匀速圆周运动 B ．匀速直线运动 C．匀加速直线运动 D．平抛运动
在匀强磁场中，一个带电粒子做匀速圆周运动，如果又顺利垂直进入另一磁感应强度是原来磁感应强度 2
倍的匀强磁场，则 （ ）
A ．粒子的速率加倍，周期减半 B．粒子速率不变，轨道半径减半
C．粒子的速率减半，轨道半径变为原来的 1/4 D．粒子速率不变，周期减半
电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，下列说法正确的是 （ ）
A．速率越大，周期越大 B ．速率越小，周期越大 C．速度方向与磁场方向平行 D．速度方向与磁场方向垂直
解析：由 TD正确。2 m 可知，选项 A、 B
解析：由 T
D正确。
答案： D
④ 三种粒子11H 、12 H 、42He ，它们以具有相同速度垂直进入同一匀强磁场，求它们的轨道半径之比2依据 qvB＝ mvr
④ 三种粒子
11H 、12 H 、
42He ，它们以具有相同速度垂直进入同一匀强磁场，
求它们的轨道半径之比
2
依据 qvB＝ mvr ，得
mv r＝qB
v、 B相同，所以 r ∝m，所以 r 1∶r 2∶r 3＝1∶2∶2 q
⑤如图所示，将截面为正方形的真空腔 里 . 若有一束具有不同速率的电子由小孔 小孔 c和小孔 d 射出的电子的速率之比
abcd 放置在一匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向 a沿 ab方向射入磁场， 打在腔壁上被吸收， vc/ vd= .
则由
⑥1930 年劳伦斯制成了世界上第一台回旋加速器，其原理如图所示，这台加速器由两个铜质 成，其间留有空隙，下列说法正确的是 A．离子由加速器的中心附近进入加速器 C．离子从磁场中获得能量 D
解析：离子由加速器的中心附近进入加速器， 开加速器，选项 A、D 正确。
答案： AD
（ ）
B．离子由加速器的边缘进入加速器 ．离子从电场中获得能量 从电场中获取能量，最后从加速器边缘离
练习案
D形合 D1、D2 构
①两个带电粒子沿垂直磁场方向射入同一匀强磁场，它们在磁场中作匀速圆周运动的半径相同， 也相同，那么这两粒子的情况是（ ）
A．两粒子的速度大小一定相同 B ．两粒子的质量一定相同
C．两粒子的运动周期一定相同 D ．两粒子所带电荷种类一定相同（均为正或负电荷
②在匀强磁场中，一个带电粒子作匀速圆周运动，如果又顺利垂直进入另一磁感应强度是原来磁感应强度 倍的匀强磁场，则（ ）
A．粒子的速率加倍，周期减半 B
C．粒子的速率减半，轨道半径变为原来的 1/4
且转动方向
．粒子的速率加倍，轨道半径减半
D．粒子的速率不变，周期减半
③质子（ 11P）和 α 粒子（ 24 He ）以相同的速度垂直进入同一匀强磁场中，它们在垂直于磁场的平面内做匀
速圆周运动，它们的轨道半径和运动周期关系是 （ ）
TOC \o "1-5" \h \z A．Rp:R =1:2, T p :T =1:2 B. R p :R =2:1, T p :T =1:2
C. R p :R =1:2, T p :T =2:1 D. R p :R =1:4, T p :T =1:4
关于回旋加速器中电场和磁场的说法中正确的是（ ）
A.电场和磁场都对带电粒子起加速作用 B. 电场和磁场是交替地对带电粒子做功的
C.只有电场能对带电粒子起加速作用 D.磁场的作用是使带电粒子在 D 形盒中做匀速圆周运动
下列关于回旋加速器的说法中，正确的是（ ）
A. 回旋加速器一次只能加速一种带电粒子 B. 回旋加速器一次最多只能加速两种带电粒子
C.回旋加速器一次可以加速多种带电粒子
D. 回旋加速器可以同时加速一对电荷量和质量都相等的正离子和负离子
用回旋加速器分别加速 α 粒子和质子时，若磁场相同，则加在两个 D 形盒间的交变电压的频率应不同， 其频率之比为（ ）
A． 1：1 B.1 ：2 C.2 ： 1 D.1 ： 3
则图中画出的四段圆弧，哪两个是电子和质子运动的A．a 是电子运动轨迹，d
则图中画出的四段圆弧，哪两个是电子和质子运动的
A．
a 是电子运动轨迹，
d 是质子运动轨迹
B．
b 是电子运动轨迹，
c 是质子运动轨迹
C．
c 是电子运动轨迹，
b 是质子运动轨迹
D．
d 是电子运动轨迹，
a 是质子运动轨迹
⑦ 一电子与质子速度相同，都从 O 点射入匀强磁场区， 可能轨迹 （ ）
⑧ 一个带电粒子 ,沿垂直于磁场的方向射入一匀强磁场
,粒子的一段径迹如图所示 ,径迹上的每小段都可以近似
看成圆弧 ,由于带电粒子使沿途空气电离 ,粒子的能量逐渐减小 （带电荷量不变 ）, 从图中情况可以确定（ ）A ．粒子从 a 到 b,
看成圆弧 ,由于带电粒子使沿途空气电离 ,粒子的能量逐渐减小 （带电荷量不变 ）, 从图中情况可以确定
（ ）
A ．粒子从 a 到 b, 带正电
B ．粒子从 b 到 a,带正电 C．粒子从 a 到 b.带负电
D．粒子从 b 到 a, 带负电 ⑨如图所示为云室中某粒子穿过铅板
P 前后的轨迹 . 室中匀强磁场的方向与轨迹
所在平面垂直 （图中垂直于纸面向里 ） ，由此可知此粒子 （ A 、一定带正电
B 、一定带负电
C、不带电
D 、可能带正电，也可能带负电
).
⑩如图所示， a和b是从 A点以相同的动能射入匀强磁场的两个带等量电荷的粒子运动的半圆形径迹，已知
r a=2r b ，则由此可知（ ）
A．两粒子均带正电，质量比 ma/mb=4
B．两粒子均带负电，质量比 ma/mb=4
C．两粒子均带正电，质量比 ma/mb=1/4
D．两粒子均带负电，质量比 ma/mb=1/4
如图所示，圆形区域内有垂直纸面的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子
a、b、 c，以不同的
速率对准圆心 O 沿着 AO方向射入磁场，其运动轨迹如图。若带电粒子只受磁场力的作用，则下列说法正确
的是（ B ） A．a 粒子动能最大
B．c 粒子速率最大
C．b 粒子在磁场中运动时间最长 D．它们做圆周运动的周期 Ta<Tb<Tc 答案： B
r qB
r qB 可知，速度越大半径也越大。从图中可看出
c 的半径最大，所以速度也最大
如图所示是粒子速度选择器的原理示意图，如果粒子所具有的速率 v＝E，那么 （ ）
B
A ．带正电粒子必须沿 ab 方向从左侧进入场区，才能沿直线通过 B ．带负电粒子必须沿 ba 方向从右侧进入场区，才能沿直线通过 C．不论粒子电性如何，沿 ab 方向从左侧进入场区，都能沿直线通过 D．不论粒子电性如何，沿 ba 方向从右侧进入场区，都能沿直线通过
如图所示，质量为 m带正电 q 的液滴，处在水平方向的匀强磁场中，磁感应强度为 B，液滴运动速度为 v ，若要液滴在竖直平面内做匀速圆周运动， 则施加的匀强电场方 向为 ，场强大小为 ，从垂直于纸面向你看 ，液体的绕行方向
为 。向上 mg/q 逆时针；
如图所示 ,一束电子流以速率 v 通过一个处于矩形空间的匀强磁场 ,速度方向与磁感 线垂直。且平行于矩形空间的其中一边 ,矩形空间边长为 3 a 和 a 电子刚好从矩形的 第 13 题
相对的两个顶点间通过 ,求电子在磁场中的飞行时间。
14、 2π a /3v
长为 L，间距也为 L 的两平行金属板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图 11— 2—7 所示磁感应强度为 B，
今有质量为 m、带电量为 q 的正离子从平行板左端中点以平行于金属板的方向射入磁场 .欲使离子不打在极板
)5qBL②
)
5qBL
②v>
4m qBL 5qBL
④ < v<
4m 4m
B.②③
D.只�孝�
qBL
①v<
4m
③v> qBL
m
以上正确的是
A.①②
C.只有④
解析：由几何关系可知： 欲使离子不打在极板上，入射离子的半径必满足r<
解析：由几何关系可知： 欲使离子不打在极板上，
入射离子的半径必满足
r< L或r>5L，即mv< L或mv
4 4 qB 4
qB
qBL 5qBLv< ,v> .
qBL 5qBL
v< ,v> .
4m 4m
> L；解之得：
4
答案： A
质谱仪原理如图所示， a 为粒子加速器，电压为 U1，b 为速度选择器，磁场与电场正交，磁感应强度为 B1，
板间距离为 d，c为偏转分离器， 磁感应强度为 B2.今有一质量为 m，电荷量为＋ e的粒子 （不计重力 ）经加速后， 该粒子恰能通过速度选择器，粒子进入分离器后做半径为 R 的�人僭仓茉硕螅�
得 v ＝ m(2)在 b 中，粒子受的静电力和洛伦兹力大小相等，即eUd2＝
得 v ＝ m
(2)在 b 中，粒子受的静电力和洛伦兹力大小相等，即
eUd2＝evB1
代入 v值得 U2＝B1d 2emU
D形
(3)在 c 中，粒子受洛伦兹力作用而做圆周运动，回转半径
【选做题】
回旋加速器是加速带电粒子的装置， 其核心部分是分别与高频交流电极相连接的两个 金属盒，两盒间的狭缝中形成的周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，
如图 7 所示，要增大带电粒子射出时的动能，
解析 经回旋加速器加速后粒子获得的动能
场的磁感应强度，增大 D 形金属盒的半径，故 都不会改变粒子飞出时的动能，只是改变了每次加速的动能变化量，故
【小专题】
E＝q B R ，可以看出要增大粒子射出时的动能就要增大磁 2m
B、D 正确；增大匀强电场间的加速电压，减小狭缝间的距离 A、C 错误．
R＝Bm2ve，代入 v 值得
两D 形金属盒处于垂直于盒底的匀强磁场中， 则下列说法中正确的是 ( )
A ．增大匀强电场的加速电压
B．增大磁场的磁感应强度
C．减小狭缝间的距离
D ．增大 D 形金属盒的半径 答案 BD
R＝B12 2Ue1m
要点一 带电粒子在磁场中运动的轨迹
1．圆心的确定 带电粒子进入一个有界匀强磁场后的轨迹是一段圆弧，如何确定圆心是解决问题的前提，也是解题的关 键．首先，应有一个最基本的思路：即圆心一定在与速度方向垂直的直线上．
在实际问题中圆心位置的确定极为重要，通常有两种方法： (1)已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条 直线的交点就是圆弧轨迹的圆心 (如图所示，图中 P 为入射点， M 为出射点 )．
(2) 已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线， 连接 入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心 (如图所示， P 为 入射点， M 为出射点 )．
(1)粒子的速度 v.
(2)速度选择器的电压 U2.
(3)粒子在 B2 磁场中做匀速圆周运动的半径 R.
答案 (1) 2emU1 (2)B1d 2emU1 (3)B12 2meU1
解析 根据动能定理可求出速度 v，据静电力和洛伦兹力相等可得到 U2，
再据粒子在磁场中做匀速圆周运动的知识可求得半径．
(1)在 a 中，粒子被加速电场 U1加速，由动能定理有
12
eU1＝ 2mv2
例： 粒子进入磁场的方向不同，或磁场区域的边界不同，造成它在磁场中运动的圆弧轨迹不同，常见的
）
点评：解决这一类问题时，找到粒子在磁场中一段圆弧运动对应的圆心位置、半径大小以及与半径相关 的几何关系是解题的关键。其中将进入磁场时粒子受洛伦兹力和射出磁场时受洛伦兹力作用线延长，交点就 是圆弧运动的圆心
2．半径的确定和计算 （如图所示 ） 利用平面几何关系，求出该圆的可能半径 （或圆心角 ）．并注意以下两个重要的几何特
点：
（1） 粒子速度的偏向角 （φ）等于回旋角 （α），并等于 AB 弦与切线的夹角 （弦切角 θ）的 2 倍 （如图 3－6－ 4），即 φ＝α＝ 2θ＝ ωt.
（2）相对的弦切角 （θ）相等，与相邻的弦切角 （θ′）互补，即 θ＋θ′＝ 180°. 3．运动时间的确定
粒子在磁场中运动一周的时间为 T，当粒子运动的圆弧所
对应的圆心角为 α时，其 运动时间可由下式表示： t＝ α T 或（t＝ αT） ．
360 ° 2 π
要点二: 电偏转和磁偏转的区别有哪些？
所谓“电偏转”与“磁偏转”是分别利用电场和磁场对运动电荷施加作用，从而控制其运动方向，但电 场和磁场对电荷的作用特点不同，因此这两种偏转有明显的差别 .
磁偏转
电偏转
受力特征及运动规律
若 v⊥B，则洛伦兹力 F 洛＝ qvB， 使粒子做 匀速圆周运动 ， v 的方 向变化，又导致 F 洛的方向变化， 其运动规律可由 r＝ mv 和 T＝
qB 2πm进行描述 .
qB
F 电为恒力， 粒子做匀变速曲线运 动—— 类平抛运动 ，其运动规律 可由 vx＝v0， x＝v0t， vy＝qEt，y m ＝1qEt2进行描述．
2m
偏转情况
粒子的运动方向能够偏转的角度 不受限制， θB＝ ωt＝vr t ＝ qmBt，且 相等时间内偏转的角度相等 .
粒子运动方向所能偏转的角度 θE<2π，且相等时间内偏转的角度 不同．
动能的变化
由于 F 洛始终不做功，所以其动 能保持不变 .
由于 F 电与粒子速度的夹角越来 越小，所以其动能不断增大，并 且增大得越来越快 .
要点三：带电粒子在复合场中的运动
1、这里所说的复合场是磁场与电场的复合场，或者是磁场与重力场的复合场，或者是磁场和电场、重力场 的复合场 .
2、带电粒子在复合场中的运动情况 （1）当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，所处状态是静止或匀速直线运动状态；合外力恒定且与初 速度同向时，做匀变速直线运动。常见情况有：
①洛伦兹力为零（即 v 与 B 平行），重力与电场力平衡，做匀速直线运动；或重力与电场力的合力恒定， 做匀变速运动
②洛伦兹力与速度垂直，且与重力和电场力的合力（或其中一种力）平衡，做匀速直线运动。
（2）当带电粒子所受合外力只充当向心力时，粒子做匀速圆周运动；由于通常情况下，重力和电场力
为恒力，故不能充当向心力，所以一般情况下是重力与电场力平衡，洛伦兹力充当向心力。
（3）当带电粒子所受合外力变化且与速度方向不在一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动 .除了要写
出相应的受力特点的方程之外，还要用到运动学公式，或者从能量的观点 （即动能定理或能量守恒定律 ）写出
方程，联立求解 .注意微．观．带电粒子在复合场中运动时，一般不计重力 .
教学反思】