八年级数学下册 17.1 勾股定理导学案(新版)新人教版(6)
勾股定理
17.1 勾股定理（一）
一、学习目标：
1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
4.会用勾股定理进行简单的计算。
5、树立数形结合的思想、分类讨论思想。
二、学习重点：勾股定理的内容及证明。勾股定理的简单计算。
三、学习难点：勾股定理的证明。勾股定理的灵活运用
四、课前预习：
1、画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。（勾3，股4，弦5）。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。
你是否发现与的关系，和的关系，即_____，_____，那么就有_____+_____=_____。(用勾、股、弦填空)
对于任意的直角三角形也有这个性质吗？
勾股定理内容
文字表述：
几何表述：
2．如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）
⑴两锐角之间的关系： ；
⑵若D为斜边中点，则斜边中线与斜边的关系： ；
⑶若∠B=30°，则∠B的对边和斜边的关系： ；
⑷三边之间的关系： 。
五、课内探究
例1、已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为
a、b、c。求证：。
分析：⑴准备多个三角形模型，利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S△+S小正=S大正
即4×× ＋﹝ ﹞2＝c2,化简可证。
⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。
⑷勾股定理的证明方法，达300余种。这个古老而精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
例2已知：在△ABC中，∠C=90°，
∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。求证：。
分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
左边S=_____________
右边S=_____________
左边和右边面积相等，即_________________________
化简可得_______________________
例3、在Rt△ABC，∠C=90°
⑴已知a=b=5,求c。
⑵已知a=1,c=2, 求b。
⑶已知c=17,b=8, 求a。
⑷已知a：b=1：2,c=5, 求a。
⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c。
分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。
⑴已知_________边，求________边,直接用_______定理。⑵⑶已知_____边和_______边，求__________边，用勾股定理的变形式。⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。
六、拓展延伸
1．已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则
⑴c= 。（已知a、b，求c）
⑵a= 。（已知b、c，求a）
⑶b= 。（已知a、c，求b）
2．如下表，表中所给的每行的三个数a、b、c，有a＜b＜c，试根据表中已有数的规律，写出当a=19时，b，c的值，并把b、c用含a的代数式表示出来。
3、4、5
5、12、13
7、24、25
9、40、41
……
……
19，b、c
3．△ABC的三边a、b、c，
（1）若满足，则 =90°；
（2）若满足，则∠B是 角；
（3）若满足，则∠B是 角。
4、已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。
分析：已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算。让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。
七、当堂检测
1．一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是 ( )
斜边长为25 B．三角形的周长为25
C．斜边长为5 D．三角形面积为20
2、一直角三角形的斜边长比一条直角边长多2，另一直角边长为6，则斜边长为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
3．直角三角形的两直角边的长分别是5和12，则其斜边上的高的长为（ ）
图1-1-5A．6 B．
图1
5、已知，如图1-1-5，折叠长方形（四个角都是直角，
对边相等）的一边AD使点D落在BC边的点F处，
已知AB=8cm，BC=10cm，求CF 与CE 。
6、已知：如图，等边△ABC的边长是6cm。
⑴求等边△ABC的高.
⑵求S△ABC。
课后反思
九、课后训练
1．填空题
⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 。
⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。
⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a= ，b= 。
⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 。
⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为 。
⑹已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为 ，面积为 。
2．已知：如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长。
3．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，
AB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm，求BC的长。
17.1 勾股定理（二）
一、学习目标：
1．会用勾股定理解决简单的实际问题。
2．树立数形结合的思想。
3、会用勾股定理解决较综合的问题。
二、学习重难点：
重点：勾股定理的综合应用。
难点：实际问题向数学问题的转化。
三、课前预习：
1、填空: 在Rt△ABC，∠C=90°，
⑴如果a=7，c=25，则b= 。
⑵如果∠A=30°，a=4，则b= 。
⑶如果∠A=45°，a=3，则c= 。
⑷如果c=10，a-b=2，则b= 。
⑸如果a、b、c是连续整数，则a+b+c= 。
⑹如果b=8，a：c=3：5，则c= 。
2、如图，水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.
例1（教材P26页探究）
分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。（变式训练：在数轴上画出表示的点。）
四、课内探究
例1（教材P25页例1）
分析：⑴在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是直角。
⑵探讨图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条最长？
⑶指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？
⑷转化为勾股定理的计算，采用多种方法。
⑸小结深化数学建模思想，激发兴趣。
例2（教材P25页例2）
OBDCＣACAOB
O
B
D
CＣ
A
C
A
O
B
O
D
分析：要求出梯子的底端B是否也外移0.5米，实际就是求BD的长，而BD=OD-OB
例2：已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，
CD=，求线段AB的长。
分析：本题是“双垂图”的计算题， “双垂图”需要掌握的知
识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式
，两对相等锐角，四对互余角，
及30°或45°特殊角的特殊性质等。
拓展延伸
1、探究：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示的点吗？
分析：(1)若能画出长为的线段，就能在数轴上画出表示的点.
5O1234
5
O
1
2
3
4
5
5
O
1
2
3
4
如图：螺旋状图形是由若干个直角
三角形所组成的，其中①是直角边长为1的等腰直角三角形。
那么＝ ,＝ ,＝ ,＝ ,
＝ ,＝ ,＝ ,…,＝ , …,
＝ .
六、当堂检测
1．△ABC中，AB=AC=25cm，高AD=20cm,则BC= ，= 。
2．△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，AC=cm，则∠A= 度，∠B= 度,∠C= 度，BC= ，= 。
3．△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=，CD⊥AB于D， 则AC= ，CD= ，BD= ，AD= ,= 。
4．已知：如图，在△ABC中，ADBC于D，AB=6，AC=4，BC=8，求BD，DC的长.
5、已知：如图，四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°, ∠B=∠D=90°. 求四边形ABCD的面积。
七、课后反思
八、课后训练
1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米。
2．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4米，则这两株树之间的垂直距离是
米，水平距离是 米。
3．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。
2题图 3题图 4题图 5题图
4．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米，∠B=60°，则江面的宽度为 。
5．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ=16厘米，且RP⊥PQ，则RQ= 厘米。
6．有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为 米。
7．如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？
8．如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，∠B=∠C=30°，E、F分别为BD、CD中点，试求B、C两点之间的距离，钢索AB和AE的长度。（精确到1米）