垂径定理教学设计教案(8页)
《垂径定理》教学设计
单 位:登封市大金店二中
讲课老师: 唐 海 广
《垂径定理》教学设计
一、学生起点分析
学生知识技能基础:学生在七、八年级已经学习过轴对称图形相关概念和性质,等腰三角形对称性,和本节定理证实要用到三角形全等知识,在本章前两节课中也已经初步了解了圆轴对称性和圆弧表示等知识,含有探索证实几何定理基础技能.
学生活动经验基础:在平时学习中,学生已掌握探究图形性质不一样手段和方法,含有几何定理分析、探索和证实能力.
二、教学任务分析
该节内容为1课时.圆是一个特殊图形,它是轴对称图形,学生经过类比等腰三角形轴对称性,能利用圆轴对称性探索、证实得出圆垂径定理及其逆定理.具体地说,本节课教学目标是:
知识和技能
1.利用圆轴对称性研究垂径定理及其逆定理;
2.利用垂径定理及其逆定了处理问题.
过程和方法
1.经历利用圆轴对称性探索圆相关性质过程,深入体会和了解研究几何图形多种方法.
情感和态度
1. 培养学生类比分析,猜想探索能力.
2. 经过学习垂径定理及其逆定理证实,使学生领会数学严谨性和探索精神,培养学生学习实事求是科学态度和主动参与主动精神.
教学关键:利用圆轴对称性研究垂径定理及其逆定理.
教学难点:垂径定理及其逆定理证实,和应用时怎样添加辅助线.
三、教学设计分析
本节课设计了四个教学步骤:
类比引入,猜想探索,知识应用,归纳小结.
第一步骤 类比引入
活动内容:
1.等腰三角形是轴对称图形吗?
2.假如将一等腰三角形沿底边上高对折,能够发觉什么结论?
3.假如以这个等腰三角形顶角顶点为圆心,腰长为半径画圆,得到图形是否是轴对称图形呢?
活动目标:
经过等腰三角形轴对称性向圆轴对称性过渡,引导学生思索,培养学生类比分析能力.
第二步骤 猜想探索
活动内容:
1.图,AB是⊙O一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
(1)该图是轴对称图形吗?假如是,其对称轴是什么?
(2)你能图中有哪些等量关系?说一说你理由.
条件:① CD是直径;② CD⊥AB
结论(等量关系):③AM=BM;
④ eq \o(\s\up1(⌒),\s\do5(AC)) = eq \o(\s\up1(⌒),\s\do5(BC));⑤ eq \o(\s\up1(⌒),\s\do5(AD)) = eq \o(\s\up1(⌒),\s\do5(BD)) .
证实:连接OA,OB,则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB,OM=OM,
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM.
∴点A和点B相关CD对称.
∵⊙O相关直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时, 点A和点B重合,
eq \o(\s\up1(⌒),\s\do5(AC)) 和 eq \o(\s\up1(⌒),\s\do5(BC)) 重合, eq \o(\s\up1(⌒),\s\do5(AD)) 和 eq \o(\s\up1(⌒),\s\do5(BD)) 重合.
∴ eq \o(\s\up1(⌒),\s\do5(AC)) = eq \o(\s\up1(⌒),\s\do5(BC)) , eq \o(\s\up1(⌒),\s\do5(AD)) = eq \o(\s\up1(⌒),\s\do5(BD)) .
2.证实完成后,让学生自行用文字语言表述这一结论,最终提炼出垂径定理内容——垂直于弦直径平分这条弦,而且平分弦所正确两条弧.
3.辨析:判定下列图形,能否使用垂径定理?
OCD
O
C
D
B
A
注意:定理中两个条件缺一不可——直径(半径),垂直于弦.
经过以上辨析,让学生对垂径定理两个条件必需性有更充足认识.
4.垂径定理逆定理探索
图,AB是⊙O 弦(不是直径),作一条平分AB直径CD,交AB于点M.
(1)下图是轴对称图形吗?假如是,其对称轴是什么?
(2)图中有哪些等量关系?说一说你理由.
条件:① CD是直径;② AM=BM
结论(等量关系):③CD⊥AB;
④ eq \o(\s\up1(⌒),\s\do5(AC)) = eq \o(\s\up1(⌒),\s\do5(BC));⑤ eq \o(\s\up1(⌒),\s\do5(AD)) = eq \o(\s\up1(⌒),\s\do5(BD)) .
让学生模拟垂径定理证实过程,自行证实逆定理,并表述逆定理内容
——平分弦(不是直径)直径垂直于弦,而且平分弦所正确两条弧.
5.辨析:“平分弦(不是直径)直径垂直于弦,而且平分弦所正确两条弧.”假如该定理少了“不是直径”,是否也能成立?
OD
O
D
B
A
C
活动目标:
活动1关键目标是经过让学生猜想、类比、探索和证实取得新知,从而得到研究数学多个方法体会,获取经验;活动2 关键目标是让学生经过对定理表述反复语言提炼,锻炼学生归纳能力和严谨表述能力,并对定理条件和结论有更深刻了解和认识;活动3关键目标是经过反例使学生对定理严谨性有更深认识;活动4关键目标和活动1相同,并让学生和活动1类比,提升探索能力;活动5关键目标和活动3相同.
实际教学效果:
在活动1中证实时,学生对怎样证实平分弦,可能会有一定困难,此时应引导学生类比等腰三角形,经过连接OA、OB,结构等腰三角形,并利用三角形全等知识来证实;另外,在证实直径平分弦所正确弧,也是一个难点,学生会认为比较难表述,这时应类比等腰三角形轴对称性,利用圆轴对称性启发引导;在活动2中,学生说法可能不够正确、精炼,但老师应该激励学生坚持勇于尝试,让学生相互指出说法不足和缺点,相互加以修正,在反复语言提炼中对定理条件和结论有更深刻了解和认识,这也是一个自主构建过程;活动3是经过反例说明定理条件必需性和严谨性,要注意让学生学会经过反例找出对应缺失条件,提升学生对定理了解;在活动4中,学生已经有了活动1经验,老师应放手让学生去猜想、类比、探索和证实,增加学生对数学知识探索领悟和经验;活动5和活动3相同.
第三步骤 知识应用
活动内容:
讲解例题及完成随堂练习.
1.例:图,一条公路转弯处是一段圆弧(即图中 eq空格\o(\s\up1(⌒),\s\do5(CD)) eq空格\o(\s\up1(⌒),\s\do5(CD)) eq \o(\s\up1(⌒),\s\do5(CD)) ,点0是 eq \o(\s\up1(⌒),\s\do5(CD)) 所在圆圆心),其中CD=600m,E为 eq \o(\s\up1(⌒),\s\do5(CD)) 上一点,且OE⊥CD,垂足为F,EF=90m.求这段弯路半径.
解:连接OC,设弯路半径为Rm,则OF=(R-90)m.
∵OE⊥CD
依据勾股定理,得
OC2=CF2 +OF2
即 R2=3002+(R-90)2.
解这个方程,得R=545.
所以,这段弯路半径为545m.
2.随堂练习1.14前,中国隋朝建造赵州石拱桥桥拱是圆弧形,它跨度(弧所正确弦长)为37.4米,拱高(即弧中点到弦距离)为7.2米,求桥拱所在圆半径.(结果正确到0.1
3.随堂练习2.假如圆两条弦相互平行,那么这两条弦所夹弧相等吗?为何?
有三种情况:(1)圆心在平行弦外;
(2)圆心在其中一条弦上;
OCD
O
C
D
B
A
O
C
D
B
A
O
C
D
B
A
活动目标:活动1、2关键目标是让学生应用新知识结构直角三角形,并经过方程方法去处理几何问题;活动3关键目标是让学生经过作垂线段结构符合定理使用条件,从而利用定了处理问题,和培养学生解题中分类思想.
实际教学效果:
在活动4中,对于例题和随堂练习1老师要引导学生怎样够造能够应用垂径定理几何构图,让学生积累怎样添加辅助线经验,和体会到结构直角三角形并利用勾股定理列方程在处理几何问题中作用,培养数形结合思想.对于随堂练习2,老师要引导学生经过自行画图,探索分析符合条件图形有多少种情况:圆心在平行弦外,在其中一条弦上、在平行弦内,并经过添加辅助线结构能够应用垂径定理条件,和比较三种构图共同点,得出说理思绪全部是一样结论.
第四步骤 归纳小结
活动内容:
学生交流总结
1.利用圆轴对称性研究了垂径定理及其逆定理.
2.处理相关弦问题,常常是过圆心作弦垂线,或作垂直于弦直径,连接半径等辅助线,为应用垂径定理发明条件.
活动目标:
经过回顾本节课各个步骤,激励学生交流自己收获和感想,加深对本节课知识和探索方法了解和掌握,培养学生养成归纳反思学习习惯.
实际教学效果:
学生在相互交流中,对于归纳出来内容,会有多种表述,大多全部是围绕知识本身,老师应引导学生对探索知识方法也能归纳反思.
四、教学设计反思
1.要从培养学生学习方法角度使用教材
教材为老师提供了基础教学素材,但怎样使用这些素材,老师完全能够依据学生实际情况进行合适调整.学生在探索垂径定理时候,其中一个难点在于怎样证实垂径定理,这时经过类比等腰三角形轴对称性,能够使学生对证实思索得到突破,从而寻求出合理证实方向.这既使学生掌握了新知识,也培养了学生学习数学类比思想和观察、猜想能力.
2.要激励学生勇于表述和善于纠错
垂径定理及其逆定理文字表述是一个难点,老师假如直接给出,则学生就少了一个锻炼表述能力和严谨地分析机会.所以,应该让学生大胆表述,并对各人表述严谨分析,找出漏洞,反复提炼,直至得出正确说法,使学生得到愈加好锻炼.
3.注意改善方面
本节课另一个难点是怎样添加辅助线,这在最终归纳反思中应该要有足够时间让学生交流讨论,不过限于本节课时间,这是一个客观限制,不应该勉强在课堂上完成,效果并不理想,应该留作课后作业,让学生能经过更充足讨论才得出结论,这么才能起到愈加好地交流和反思作用.
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