完整word版,人教版八年级数学下册第十七章_勾股定理导学案(全章)（18页）
第十七章 勾股定理
第一课时 17.1 勾股定理（ 1）
学习目标： 1．了解勾股定理的发现过程， 掌握勾股定理的内容， 会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就， 激发学生的爱国热情， 促其勤奋学习。
学习重点：勾股定理的内容及证明。
学习难点：勾股定理的证明。
学习过程：
一、自主学习
画一个直角边为 3cm和 4cm的直角△ ABC，用刻度尺量出 AB的长。（勾 3，股 4，弦 5）。以上这个事实是我国古代 3000 多年前有一个叫商高的人发现的，他说： “把一根直尺
折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是 3，长的直角边（股）的长是 4，那么斜边（弦）的长是
5。
再画一个两直角边为
5 和 12 的直角△ ABC，用刻度尺量 AB的长。
2
2
与
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
，
你是否发现 3 +4
5
的关系， 5 +12
和 13
的关系，即 3 +4 _____5 ，5 +12 _____13
那么就有 _____2 +_____2=_____2。( 用勾、股、弦填空 )
对于任意的直角三角形也有这个性质吗？
勾股定理内容
文字表述：
几何表述：
二、交流展示
例 1、已知：在△ ABC中，∠ C=90°，∠ A、∠ B、∠ C的对边为
、 b、 c。求证： a2＋ b2 =c2。
分析：⑴准备多个三角形模型，利用面积相等进行证明。⑵拼成如图所示，其等量关系为： 4S△+S 小正 =S大正
即4×1
×
＋﹝
﹞2 ＝c2, 化简可证。
2
⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。
c
c
b
a
⑷勾股定理的证明方法，达 300 余种。这个古老而精彩的证法，出自我国古代无名
数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
1
例 2 已知：在△ ABC中，∠ C=90°，∠ A、∠ B、∠ C 的
求 ： a2＋ b2=c2。
分析：左右两 的正方形 相等， 两个正方形的面 相等。
左 S=_____________
b a
右 S=_____________
a
c
左 和右 面 相等，即
c
_________________________
b
c
c
化 可得
a、b、c。
a
b
c
a
a
b
b c b
a
a b a b
_______________________
三、合作探究
1．已知在 Rt △ABC中，∠ B=90°， a、b、c 是△ ABC的三 ，
⑴ c= 。（已知 a、 b，求 c）
⑵ a= 。（已知 b、 c，求 a）
⑶ b= 。（已知 a、 c，求 b）
2．如下表，表中所 的每行的三个数 a、b、c，有 a＜b＜c， 根据表中已有数的 律，
写出当 a=19 ， b，c 的 ，并把 b、c 用含 a 的代数式表示出来。
3、4、5 32+42 =52
5、12、 13 52+122=132
7、24、 25 72+242=252
9、40、 41 92+402=412
19， b、 c 192 +b2=c2
3．△ ABC的三 a、 b、 c，
（ 1）若 足 b2= a 2 ＋c2， =90 °；
（ 2）若 足 b2＞c2 ＋a2， ∠ B 是 角；
（ 3）若 足 b2＜c2 ＋a2， ∠ B 是 角。
四、达
1．一个直角三角形，两直角 分 3 和 4，下列 法正确的是 ( )
2．斜 25 B ．三角形的周 25 C．斜 5 D．三角形面 20
3．一直角三角形的斜 比一条直角 多 2，另一直角 6， 斜 （ ）
A．4 B ．8 C ．10 D ．12
2
4．直角三角形的两直角边的长分别是
5 和 12，则其斜边上的高的长为（
）
A． 6
B．8C．80
D ．60
13
13
AD使点 D 落在
、已知，如图
1-1-5
，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边
5
BC边的点 F 处，已知 AB
， BC
，求
=8cm=10cmCF CE
A D
E
B C
F
图 1-1-5
第二 课时 17.1 勾股定理（ 2）
教学目标：
1．会用勾股定理进行简单的计算。
2
．树立数形结合的思想、分类讨论思想。
重难点：
1．重点：勾股定理的简单计算。
2
．难点：勾股定理的灵活运用。
一、自主学习
1．勾股定理的具体内容是：
。
2．如图，直角△ ABC的主要性质是：∠ C=90°，（用几何语言表示）
⑴两锐角之间的关系：
；
A
⑵若 D 为斜边中点，则斜边中线与斜边的关系： ；
⑶若∠ B=30°，则∠ B 的对边和斜边的关系： ；
D
C B
⑷三边之间的关系： 。
二、交流展示
例 1、在 Rt△ABC，∠ C=90°
⑴已知 a=b=5, 求 c。 ⑵已知 a=1,c=2, 求 b。 ⑶已知 c=17,b=8, 求 a。
⑷已知 a：b=1：2,c=5, 求 a。 ⑸已知 b=15，∠ A=30°，求 a，c。
3
分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。
⑴已知 _________边，求________边, 直接用 _______定理。⑵⑶已知 _____边和 _______
边，求 __________边，用勾股定理的变形式。⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。通过前
三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。
例 2、已知直角三角形的两边长分别为 5 和 12，求第三边。
分析：已知两边中较大边 12 可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算。让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。
C
三、合作探究
例 3、已知：如图，等边△ ABC的边长是 6cm。
⑴求等边△ ABC的高 .
⑵求 S△ ABC。
A
D
B
分析：勾股定理的使用范围是在
_________三角形中，因此注意要
创造 _______三角形，作 ____是常用的创造 ______三角形的辅助线做法。
欲求高 CD，可将其置身于 Rt △ADC或 Rt △BDC中。
4
四、达标测试
1．填空题
⑴在 Rt△ABC，∠ C=90°， a=8， b=15，则 c= 。
⑵在 Rt△ABC，∠ B=90°， a=3， b=4，则 c= 。
⑶在 Rt△ABC，∠ C=90°， c=10，a：b=3：4，则 a= ，b= 。
⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 。
⑸已知直角三角形的两边长分别为 3cm和 5cm，，则第三边长为
。
⑹已知等边三角形的边长为 2cm，则它的高为
，面积为
。
2．已知：如图，在△ ABC中，∠ C=60°， AB=
3
， AC=4，AD是 BC边上的高，求 BC的
4
长。
A
C D B
3．已知：如图，四边形 ABCD中， AD∥BC，AD⊥ DC，
A D
AB⊥AC，∠ B=60°， CD=1cm，求 BC的长。
B C
第三课时 17.1 勾股定理（ 3）
学习目标： 1．会用勾股定理解决简单的实际问题。 2．树立数形结合的思想。
重点：勾股定理的应用。 难点：实际问题向数学问题的转化。
学习过程：
一、自主学习
填空 : 在 Rt △ABC，∠ C=90°，
⑴如果 a=7，c=25，则 b= 。 ⑵如果∠ A=30°， a=4，则 b= 。
⑶如果∠ A=45°， a=3，则 c= 。
⑷如果 c=10，a-b=2 ，则 b= 。
⑸如果 a、b、c 是连续整数，则 a+b+c= 。 ⑹如果 b=8，a：c=3：5，则 c= 。
5
二、交流展示
例 1（教材 P25 页例 1）
D C
分析：⑴在实际问题向数学问题的转化过程中， 注意勾股定理的使用条
件，即门框为长方形，四个角都是直角。
⑵探讨图中有几个直角三角形？
图中标字母的线段哪条最长？⑶指出薄木板在数学问题中忽略厚度， 只
记长度，探讨以何种方式通过？⑷转化为勾股定理的计算， 采用多种方
A B
法。⑸小结深化数学建模思想，激发兴趣。
三、合作探究
例 2（教材 P25 页例 2）
A
如图，一个 3 米长的梯子 AB，斜靠在一竖直的墙 AO上，这时 AO的距离为 2.5 米．如果梯子的顶端 A沿墙下滑 0.5 米，那么梯子底端 B也外移 0.5 米吗？
（计算结果保留两位小数）
分析：要求出梯子的底端 B 是否也外移 0.5 米，
A
C
O B
C
O B D O D
实际就是求 BD的长，而 BD=OD- OB
四、达标测试
1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着 45 度的坡路走了 500 米，看到了一棵红叶树，
这棵红叶树的离地面的高度是 米。
2．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是 4 3 米，则这两株树之间的垂直距离是
米，水平距离是 米。
3．如图，一根 12 米高的电线杆两侧各用 15 米的铁丝固定，两个固定点之间的距离
是 。
C
A R
A 30 B
B C
P Q
2题图 3 题图 4 题图 5 题图
4．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取 B、C 两点，在江对岸取一点 A，使 AC垂直江岸，
测得 BC=50米，∠ B=60°，则江面的宽度为 。
6
5．一根 32 厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在 P、 Q两点， PQ=16厘米，且 RP⊥PQ，则
RQ= 厘米。
6．有一个边长为 1 米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少
为 米。
7．如图，原计划从 A 地经 C地到 B 地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由 A
地到 B 地直接修建，已知高速公路一公里造价为 300 万元，隧道总长为 2 公里，隧道造价
为 500 万元， AC=80公里， BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？
B
C
A
8．如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高 24 米，∠
A
B=∠C=30°， E、F 分别为 BD、CD中点，试求 B、C 两点之间
的距离，钢索 AB和 AE的长度。
（精确到 1 米）
B E D F C
第四课时 17.1 勾股定理（ 4）
教学目标 1．会用勾股定理解决较综合的问题。
2．树立数形结合的思想。
重难点 1．重点：勾股定理的综合应用。 2．难点：勾股定理的综合应用。
一、自主学习
如图，水池中离岸边 D点 1.5 米的 C 处，直立长着一根芦苇，出水部分 BC的长是 0.5 米，把芦苇拉到岸边，它的顶端 B 恰好落到 D 点，并求水池的深度 AC.
7
例 4（教材 P26 页探究）
分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。（变式训练：在数轴上画出表示 3 1,2 2 的点。）
二、交流展示
例 1：已知：在 Rt△ABC中，∠ C=90°， CD⊥ BC于 D，∠ A=60°，
C
CD= 3 ，求线段 AB的长。
B
DA
分析：本题是“双垂图”的计算题，
“双垂图”需要掌握的知识点有：
3 个直角三角形，
三个勾股定理及推导式
2
2
2
2
，两对相等锐角，四对互余角，及
30°或 45°特殊
BC-BD =AC-AD
角的特殊性质等。
三、合作探究
1、探究：我们知道数轴上的点有的表示有理数， 有的表示无理数， 你能在数轴上画出表示 13
的点吗？
8
分析： (1) 若能画出 13 的 段，就能在数 上画出表示 13 的点 .
(2) 由勾股定理知，直角 1 的等腰 Rt△，斜 2 ．因此在数 上能表示 2 的
点．那么 13 的 段能否是直角 正整数的直角三角形的斜 呢？
● ● ● ● ● ●
O 1 2 3 4 5
在数 上画出表示 17 的点？（尺 作 ）
● ● ● ● ● ●
O 1 2 3 4 5
2、如 ：螺旋状 形是由若干个直角
三角形所 成的，其�孝偈侵苯� 1 的
等腰直角三角形。那么 OA1＝ ,OA 2＝ ,OA 3＝ ,OA 4 ＝ , OA5＝ ,OA 6＝ ,OA 7＝ , ? ,OA14＝ , ?,OAn＝ .
四、达
1．△ ABC中， AB=AC=25cm，高 AD=20cm, BC=
， S =
。
△ ABC
2．△ ABC 中，若∠ A=2∠B=3∠ C，AC=
3
cm， ∠ A=
度，∠ B=
度, ∠
2
C=
度， BC=
，S
=
。
△ABC
3．△ ABC中，∠ C=90°， AB=4，BC=
3
，CD⊥AB于 D，AC=
，CD=
，
2
BD=
，AD=,S
=
。
△ ABC
．已知：如 ，在△ ABC中， AD BC于 D，AB ， AC
，BC ，求 BD，DC的
.
4
=6=4
=8
A
6
4
Bx
1
2
-x C
D 8
9
5、已知：如图，四边形 ABCD中， AB=2，CD=1，∠ A=60°, ∠B=∠ D=90°. 求四边形 ABCD
的面积。
A
60
2 D
1
B C E
第五课时 17.2 勾股定理的逆定理（ 1）
教学目标 1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。
2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。
3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
重难点 1．重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。 2．难点：勾股定理的逆定理的证明。
一、自主学习
说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？⑴同旁内角互补，两条直线平行。
⑵如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。
⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
⑷直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的一半。
勾股定理的逆定理
______________________________________________________________________________
小结注： (1) 每一个命题都有逆命题 .
(2) 一个命题的逆命题是否成立与原命题是否成立没有因果关系 .
(3) 每个定理都有逆命题，但不一定都有逆定理 .
10
二、交流展示
例 1（P32 探究）证明：如果三角形的三边长
a，b， c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形
是直角三角形。
A
A1
c
b
b
B
a
C
a
C1
B1
例 2：判断由线段 a,b,c 组成的三角形是不是直角三角形： ( 理解勾股数 )
（ 1）a=15, b=8, c=17. （2）a=13, b=14, c=15.
运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断那条
边最大。②分别用代数方法计算出 a2+b2 和 c2 的值。③判断 a2+b2 和 c2 是否相等，若相等，
则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。
三、合作探究
例 3、已知：在△ ABC中，∠ A、∠ B、∠ C 的对边分别是 a、b、c，a=n2－1，b=2n，
c=n2＋1（n＞1）求证：∠ C=90°。
四、达标测试
1．填空题。
⑴任何一个命题都有
，但任何一个定理未必都有
。
⑵“两直线平行，内错角相等。
”的逆定理是
。
⑶在△ ABC中，若 a2=b2－ c2，则△ ABC是
三角形，
是直角；
若 a2 ＜b2－ c2，则∠ B 是
。
2
2
2
2
，则△ ABC是
三角形。
⑷若在△ ABC中， a=m－ n ， b=2mn，c= m
＋ n
11
△ABC的三边之比是 1：1： 2 ，则△ ABC是______三角形。
2．△ ABC中∠ A、∠ B、∠ C 的对边分别是 a、 b、 c，下列命题中的假命题是（ ）
A．如果∠ C－∠ B=∠A，则△ ABC是直角三角形。
B．如果 c2 = b 2—a2，则△ ABC是直角三角形，且∠ C=90°。
C．如果（ c＋ a）（c－a） =b2，则△ ABC是直角三角形。
D．如果∠ A：∠ B：∠ C=5：2：3，则△ ABC是直角三角形。
3．下列四条线段不能组成直角三角形的是（
） A． a=8，b=15， c=17
B ．a=9， b=12， c=15 C ．a= 5 ，b= 3 ， c=
2D ．a：b：c=2：
3： 4
4．已知：在△ ABC中，∠ A、∠ B、∠ C 的对边分别是 a、b、c，分别为下列长度，判断
该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？
⑴ a= 3 ， b=2
2 ，c=
5；
⑵a=5， b=7， c=9；
⑶a=2，b=
3 ，c=
7；
⑷ a=5，b= 2 6
， c=1。
(5)a=5k， b=12k，c=13k（k＞0）。
第六课时 17.2 勾股定理的逆定理（ 2）
教学目标 1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。
重难点 1．重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
2．难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
一、自主学习
1、若三角形的三边是
⑴ 1、
3、2； ⑵ 1
,
1
,
1
；
⑶32，42，52
⑷9，40，41；
3
4
5
⑸（ m＋n）2 －1，2（m＋ n），（m＋n）2＋ 1；则构成的是直角三角形的有（ ）
A． 2 个 B ．３个 Ｃ．４个 Ｄ．５个
2、已知：在△ ABC中，∠ A、∠ B、∠ C 的对边分别是 a、b、c，分别为下列长度，判断该
三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？
⑴ a=9，b=41，c=40； ⑵a=15，b=16，c=6； ⑶ a=2，b=2 3 ，c=4；
二、交流展示
12
例 1（P33 例 2）某港口 P 位于东西方向的海岸线上 . “远航”号、“海天”号轮船同
时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16 海里，“海天”号每小时航行 12 海里，它们离开港口一个半小时后分别位于 Q、R 处，并相距 30 海里 . 如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
分析：⑴了解方位角，及方位名词；⑵依题意画出图形；⑶依题意可求 PR，PQ，QR；
⑷根据勾股定理 的逆定理，求∠ QPR；⑸求∠ RPN。
N
Q 远航号
海天号 R
2 1
P E 海岸线
小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。
例 2、一根 30 米长的细绳折成 3 段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长
7 米，比较长边短 1 米，请你试判断这个三角形的形状。
分析：⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长；⑶根据勾股定理的逆定理，判断三角形是否为直角三角形。
三、合作探究
例 3．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种
了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算
D
C
一下产量。小明找了一卷米尺，测得 AB=4米，BC=3米，CD=13
米， DA=12米，又已知∠ B=90°。
B
A
四、达标测试
13
1．一根 24 米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，
此三角形的形状为 。
2．小强在操场上向东走 80m后，又走了 60m，再走 100m回到原地。小强在操场上向东走
了 80m后，又走 60m的方向是 。
3．一根 12 米的电线杆 AB，用铁丝 AC、AD固定，现已知用去铁丝 AC=15米， AD=13米，又
测得地面上 B、 C两点之间距离是 9 米， B、 D 两点之间距离是 5 米，
A
则电线杆和地面是否垂直，为什么？
B C
D
4．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即
从相距 13 海里的 A、B 两个基地前去拦截，六分钟后同时到达 C 地将其拦截。已知甲巡逻
艇每小时航行 120 海里，乙巡逻艇每小时航行 50 海里，航向为北偏西 40°，问：甲巡逻
艇的航向？
C N
E
A 13 B
14
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